複素数 $\alpha = 8 - 2i$ と $\beta = x + i$ があり、複素数平面上で点A($\alpha$)、点B($\beta$)、原点Oが一直線上にあるとき、実数 $x$ の値を求めます。

## 問題 4 (1)

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = 8 - 2i$ と $\beta = x + i$ があり、複素数平面上で点A($\alpha$)、点B($\beta$)、原点Oが一直線上にあるとき、実数 $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

3点A, B, Oが一直線上にあるということは、$\alpha$ と $\beta$ が実数倍の関係にあるということです。つまり、ある実数 $k$ が存在して、$\beta = k\alpha$ と表せます。

$\beta = k\alpha$ を具体的に書くと、

$x + i = k(8 - 2i)$

$x + i = 8k - 2ki$

この複素数の等式から、実部と虚部を比較して2つの式を得ます。

$x = 8k$

$1 = -2k$

2番目の式から $k$ の値を求めます。

$k = -\frac{1}{2}$

この $k$ の値を1番目の式に代入して $x$ の値を求めます。

$x = 8 \cdot (-\frac{1}{2})$

$x = -4$

3. 最終的な答え

$x = -4$

## 問題 4 (2)

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = 3 + 9i$ と $\beta = 2 + yi$ があり、複素数平面上で点A($\alpha$)、点B($\beta$)、原点Oが一直線上にあるとき、実数 $y$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

3点A, B, Oが一直線上にあるということは、$\alpha$ と $\beta$ が実数倍の関係にあるということです。つまり、ある実数 $k$ が存在して、$\beta = k\alpha$ と表せます。

$\beta = k\alpha$ を具体的に書くと、

$2 + yi = k(3 + 9i)$

$2 + yi = 3k + 9ki$

この複素数の等式から、実部と虚部を比較して2つの式を得ます。

$2 = 3k$

$y = 9k$

1番目の式から $k$ の値を求めます。

$k = \frac{2}{3}$

この $k$ の値を2番目の式に代入して $y$ の値を求めます。

$y = 9 \cdot \frac{2}{3}$

$y = 6$

3. 最終的な答え

$y = 6$

## 問題 5 (1)

1. 問題の内容

複素数 $3 + 3i$ を極形式で表します。ただし、偏角 $\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ です。

2. 解き方の手順

複素数 $z = x + yi$ を極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表すとき、

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\cos\theta = \frac{x}{r}$

$\sin\theta = \frac{y}{r}$

となります。

まず、$r$ を求めます。

$r = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

次に、$\theta$ を求めます。

$\cos\theta = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin\theta = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ かつ $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{4}$ です。

したがって、極形式は $3\sqrt{2} (\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$ となります。

3. 最終的な答え

$3\sqrt{2} (\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$

## 問題 5 (2)

1. 問題の内容

複素数 $2\sqrt{3} - 2i$ を極形式で表します。ただし、偏角 $\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ です。

2. 解き方の手順

複素数 $z = x + yi$ を極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表すとき、

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\cos\theta = \frac{x}{r}$

$\sin\theta = \frac{y}{r}$

となります。

まず、$r$ を求めます。

$r = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$

次に、$\theta$ を求めます。

$\cos\theta = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\theta = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\sin\theta = -\frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ は $\theta = \frac{11\pi}{6}$ です。

したがって、極形式は $4 (\cos\frac{11\pi}{6} + i\sin\frac{11\pi}{6})$ となります。

3. 最終的な答え

$4 (\cos\frac{11\pi}{6} + i\sin\frac{11\pi}{6})$

## 問題 5 (3)

1. 問題の内容

複素数 $5i$ を極形式で表します。ただし、偏角 $\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ です。

2. 解き方の手順

複素数 $z = x + yi$ を極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表すとき、

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\cos\theta = \frac{x}{r}$

$\sin\theta = \frac{y}{r}$

となります。

まず、$r$ を求めます。

$r = \sqrt{0^2 + 5^2} = \sqrt{25} = 5$

次に、$\theta$ を求めます。

$\cos\theta = \frac{0}{5} = 0$

$\sin\theta = \frac{5}{5} = 1$

$\cos\theta = 0$ かつ $\sin\theta = 1$ を満たす $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{2}$ です。

したがって、極形式は $5 (\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$ となります。

3. 最終的な答え

$5 (\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$

## 問題 5 (4)

1. 問題の内容

複素数 $-4$ を極形式で表します。ただし、偏角 $\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ です。

2. 解き方の手順

複素数 $z = x + yi$ を極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表すとき、

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\cos\theta = \frac{x}{r}$

$\sin\theta = \frac{y}{r}$

となります。

まず、$r$ を求めます。

$r = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$

次に、$\theta$ を求めます。

$\cos\theta = \frac{-4}{4} = -1$

$\sin\theta = \frac{0}{4} = 0$

$\cos\theta = -1$ かつ $\sin\theta = 0$ を満たす $\theta$ は $\theta = \pi$ です。

したがって、極形式は $4 (\cos\pi + i\sin\pi)$ となります。

3. 最終的な答え

$4 (\cos\pi + i\sin\pi)$

## 問題 5 (5)

1. 問題の内容

複素数 $-1 - i$ を極形式で表します。ただし、偏角 $\theta$ の範囲は $-\pi < \theta \le \pi$ です。

2. 解き方の手順

複素数 $z = x + yi$ を極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表すとき、

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\cos\theta = \frac{x}{r}$

$\sin\theta = \frac{y}{r}$

となります。

まず、$r$ を求めます。

$r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

次に、$\theta$ を求めます。

$\cos\theta = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin\theta = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ かつ $\sin\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\theta$ は $\theta = -\frac{3\pi}{4}$ です。これは与えられた範囲 $-\pi < \theta \le \pi$ を満たします。

したがって、極形式は $\sqrt{2} (\cos(-\frac{3\pi}{4}) + i\sin(-\frac{3\pi}{4}))$ となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2} (\cos(-\frac{3\pi}{4}) + i\sin(-\frac{3\pi}{4}))$

## 問題 5 (6)

1. 問題の内容

複素数 $\sqrt{3} - 3i$ を極形式で表します。ただし、偏角 $\theta$ の範囲は $-\pi < \theta \le \pi$ です。

2. 解き方の手順

複素数 $z = x + yi$ を極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表すとき、

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\cos\theta = \frac{x}{r}$

$\sin\theta = \frac{y}{r}$

となります。

まず、$r$ を求めます。

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

次に、$\theta$ を求めます。

$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

$\sin\theta = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\theta = \frac{1}{2}$ かつ $\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ は $\theta = -\frac{\pi}{3}$ です。これは与えられた範囲 $-\pi < \theta \le \pi$ を満たします。

したがって、極形式は $2\sqrt{3} (\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$ となります。

3. 最終的な答え

$2\sqrt{3} (\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$