複素数 $z = 6 - 8i$ を原点を中心として、与えられた角度だけ回転させた点を表す複素数を求めます。角度は(1) $\frac{\pi}{3}$, (2) $\frac{5\pi}{6}$, (3) $-\frac{\pi}{2}$, (4) $-\frac{\pi}{6}$ です。

1. 問題の内容

複素数 $z = 6 - 8i$ を原点を中心として、与えられた角度だけ回転させた点を表す複素数を求めます。角度は(1) $\frac{\pi}{3}$, (2) $\frac{5\pi}{6}$, (3) $-\frac{\pi}{2}$, (4) $-\frac{\pi}{6}$ です。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を角度 $\theta$ だけ回転させるには、$z$ に $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ をかけます。

(1) $\theta = \frac{\pi}{3}$ の場合:

$e^{i\frac{\pi}{3}} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

回転後の複素数は、

$(6-8i)(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 3 + 3i\sqrt{3} - 4i - 4i^2\sqrt{3} = 3 + 4\sqrt{3} + (3\sqrt{3} - 4)i$

(2) $\theta = \frac{5\pi}{6}$ の場合:

$e^{i\frac{5\pi}{6}} = \cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$

回転後の複素数は、

$(6-8i)(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -3\sqrt{3} + 3i + 4i\sqrt{3} + 4 = 4 - 3\sqrt{3} + (3 + 4\sqrt{3})i$

(3) $\theta = -\frac{\pi}{2}$ の場合:

$e^{-i\frac{\pi}{2}} = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 - i = -i$

回転後の複素数は、

$(6-8i)(-i) = -6i + 8i^2 = -8 - 6i$

(4) $\theta = -\frac{\pi}{6}$ の場合:

$e^{-i\frac{\pi}{6}} = \cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$

回転後の複素数は、

$(6-8i)(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = 3\sqrt{3} - 3i - 4i\sqrt{3} - 4 = 3\sqrt{3} - 4 + (-3 - 4\sqrt{3})i$

3. 最終的な答え

(1) $3 + 4\sqrt{3} + (3\sqrt{3} - 4)i$

(2) $4 - 3\sqrt{3} + (3 + 4\sqrt{3})i$

(3) $-8 - 6i$

(4) $3\sqrt{3} - 4 + (-3 - 4\sqrt{3})i$