問題は、与えられた等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めることです。ただし、$x \neq 0$ とします。 (1) $1, 2x, 4x^2, 8x^3, \dots$ (2) $x, -x^2, x^3, -x^4, \dots$

1. 問題の内容

問題は、与えられた等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めることです。ただし、$x \neq 0$ とします。

(1) $1, 2x, 4x^2, 8x^3, \dots$

(2) $x, -x^2, x^3, -x^4, \dots$

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を使います。初項を $a$、公比を $r$ とすると、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$r \neq 1$ のとき

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$r = 1$ のとき

$S_n = na$

で与えられます。

(1) 初項 $a=1$、公比 $r=2x$ です。

$2x \neq 1$ のとき

$S_n = \frac{1(1-(2x)^n)}{1-2x} = \frac{1-(2x)^n}{1-2x}$

$2x = 1$, つまり $x = \frac{1}{2}$ のとき

$S_n = n \cdot 1 = n$

(2) 初項 $a=x$、公比 $r=-x$ です。

$-x \neq 1$ のとき

$S_n = \frac{x(1-(-x)^n)}{1-(-x)} = \frac{x(1-(-x)^n)}{1+x}$

$-x = 1$, つまり $x = -1$ のとき

$S_n = x - x^2 + x^3 - x^4 + \dots$

$S_n = -1 - 1 - 1 - 1 \dots$

$S_n = -n$

3. 最終的な答え

(1) $x \neq \frac{1}{2}$ のとき $S_n = \frac{1-(2x)^n}{1-2x}$, $x = \frac{1}{2}$ のとき $S_n = n$

(2) $x \neq -1$ のとき $S_n = \frac{x(1-(-x)^n)}{1+x}$, $x = -1$ のとき $S_n = -n$