(1) 1. $_4C_0$ の値を求める。 2. $_8C_3$ の値を求める。 (2) $(a+b)^5$ をパスカルの三角形または二項定理を用いて展開する。

1. 問題の内容

(1)

1. $_4C_0$ の値を求める。

2. $_8C_3$ の値を求める。

(2) $(a+b)^5$ をパスカルの三角形または二項定理を用いて展開する。

2. 解き方の手順

(1)

1. $_4C_0$ の定義より、異なる4個のものから0個を選ぶ組み合わせの数なので、

$_4C_0 = 1$

2. $_8C_3$ は、異なる8個のものから3個を選ぶ組み合わせの数を表す。

$_8C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1}$

分子は、$8 \times 7 \times 6$

分母は、$3 \times 2 \times 1 = 6$

よって、

$_8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

(2) $(a+b)^5$ を二項定理を用いて展開する。

$(a+b)^5 = {}_5C_0 a^5 + {}_5C_1 a^4 b + {}_5C_2 a^3 b^2 + {}_5C_3 a^2 b^3 + {}_5C_4 a b^4 + {}_5C_5 b^5$

${}_5C_0 = 1$

${}_5C_1 = 5$

${}_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

${}_5C_4 = \frac{5!}{4!1!} = 5$

${}_5C_5 = 1$

したがって、

$(a+b)^5 = a^5 + 5a^4 b + 10 a^3 b^2 + 10 a^2 b^3 + 5 a b^4 + b^5$

3. 最終的な答え

(1)

1. $_4C_0 = 1$

2. $_8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

(2) $(a+b)^5 = a^5 + 5a^4 b + 10 a^3 b^2 + 10 a^2 b^3 + 5 a b^4 + b^5$