複素数 $\alpha, \beta$ について、 $|\alpha|=5, |\beta|=4$ のとき、次の値を求めます。 (1) $|\alpha^3|$ (2) $|\alpha\beta^2|$ (3) $|\frac{1}{\alpha\beta}|$ (4) $|\frac{\beta^3}{\alpha^2}|$

1. 問題の内容

複素数 $\alpha, \beta$ について、 $|\alpha|=5, |\beta|=4$ のとき、次の値を求めます。

(1) $|\alpha^3|$

(2) $|\alpha\beta^2|$

(3) $|\frac{1}{\alpha\beta}|$

(4) $|\frac{\beta^3}{\alpha^2}|$

2. 解き方の手順

(1)

複素数の絶対値の性質 $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$ と $|z^n| = |z|^n$ を利用します。

$|\alpha^3| = |\alpha|^3 = 5^3 = 125$

(2)

複素数の絶対値の性質 $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$ と $|z^n| = |z|^n$ を利用します。

$|\alpha\beta^2| = |\alpha| |\beta^2| = |\alpha| |\beta|^2 = 5 \times 4^2 = 5 \times 16 = 80$

(3)

複素数の絶対値の性質 $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ と $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$を利用します。

$|\frac{1}{\alpha\beta}| = \frac{|1|}{|\alpha\beta|} = \frac{1}{|\alpha||\beta|} = \frac{1}{5 \times 4} = \frac{1}{20}$

(4)

複素数の絶対値の性質 $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ と $|z^n| = |z|^n$ を利用します。

$|\frac{\beta^3}{\alpha^2}| = \frac{|\beta^3|}{|\alpha^2|} = \frac{|\beta|^3}{|\alpha|^2} = \frac{4^3}{5^2} = \frac{64}{25}$

3. 最終的な答え

(1) 125

(2) 80

(3) $\frac{1}{20}$

(4) $\frac{64}{25}$