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与えられた複素数を極形式で表す問題です。ただし、複素数(1)から(4)については偏角 $\theta$ の範囲が $0 \le \theta < 2\pi$ であり、複素数(5)と(6)については偏角 $\theta$ の範囲が $-\pi < \theta \le \pi$ であることに注意する必要があります。

代数学複素数極形式三角関数
2025/5/11

1. 問題の内容

与えられた複素数を極形式で表す問題です。ただし、複素数(1)から(4)については偏角 θ\theta の範囲が 0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi であり、複素数(5)と(6)については偏角 θ\theta の範囲が −π<θ≤π-\pi < \theta \le \pi であることに注意する必要があります。

2. 解き方の手順

複素数 z=a+biz = a + bi を極形式 r(cos⁡θ+isin⁡θ)r(\cos \theta + i\sin \theta) で表す手順は以下の通りです。
* r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2} を計算します。
* cos⁡θ=ar\cos \theta = \frac{a}{r} と sin⁡θ=br\sin \theta = \frac{b}{r} を満たす θ\theta を求めます。
* 与えられた θ\theta の範囲に合うように θ\theta を調整します。
各複素数について、上記の手順を適用します。
(1) z=3+3iz = 3 + 3i の場合:
* r=32+32=18=32r = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
* cos⁡θ=332=12\cos \theta = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
* sin⁡θ=332=12\sin \theta = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
* したがって、θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}
(2) z=23−2iz = 2\sqrt{3} - 2i の場合:
* r=(23)2+(−2)2=12+4=16=4r = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4
* cos⁡θ=234=32\cos \theta = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}
* sin⁡θ=−24=−12\sin \theta = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
* したがって、θ=11π6\theta = \frac{11\pi}{6}
(3) z=5iz = 5i の場合:
* r=02+52=25=5r = \sqrt{0^2 + 5^2} = \sqrt{25} = 5
* cos⁡θ=05=0\cos \theta = \frac{0}{5} = 0
* sin⁡θ=55=1\sin \theta = \frac{5}{5} = 1
* したがって、θ=π2\theta = \frac{\pi}{2}
(4) z=−4z = -4 の場合:
* r=(−4)2+02=16=4r = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4
* cos⁡θ=−44=−1\cos \theta = \frac{-4}{4} = -1
* sin⁡θ=04=0\sin \theta = \frac{0}{4} = 0
* したがって、θ=π\theta = \pi
(5) z=−1−iz = -1 - i の場合:
* r=(−1)2+(−1)2=2r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}
* cos⁡θ=−12=−12\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}
* sin⁡θ=−12=−12\sin \theta = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}
* したがって、θ=−3π4\theta = -\frac{3\pi}{4}
(6) z=3−3iz = \sqrt{3} - 3i の場合:
* r=(3)2+(−3)2=3+9=12=23r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}
* cos⁡θ=323=12\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}
* sin⁡θ=−323=−32\sin \theta = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}
* したがって、θ=−π3\theta = -\frac{\pi}{3}

3. 最終的な答え

(1) 32(cos⁡π4+isin⁡π4)3\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4})
(2) 4(cos⁡11π6+isin⁡11π6)4(\cos \frac{11\pi}{6} + i\sin \frac{11\pi}{6})
(3) 5(cos⁡π2+isin⁡π2)5(\cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2})
(4) 4(cos⁡π+isin⁡π)4(\cos \pi + i\sin \pi)
(5) 2(cos⁡(−3π4)+isin⁡(−3π4))\sqrt{2}(\cos (-\frac{3\pi}{4}) + i\sin (-\frac{3\pi}{4}))
(6) 23(cos⁡(−π3)+isin⁡(−π3))2\sqrt{3}(\cos (-\frac{\pi}{3}) + i\sin (-\frac{\pi}{3}))

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