次の問題に答えよ。 (1) $(x - \text{ア})^2 = x^2 - 16x + \text{イ}$ (2) $(x + \text{ウ})(x + 8) = x^2 + 15x + \text{エ}$ (3) $\text{オ}a^2 - 9 = (\text{カ}a + 3)(2a - \text{キ})$ (4) $49x^2 - 42xy + \text{ク}y^2 = (7x - \text{ケ}y)^2$ (5) $x^2 + \square x - 12$ が因数分解できるように $\square$ の中にはまる整数を決めるとき、何通りの決め方がありますか。

1. 問題の内容

次の問題に答えよ。

(1) $(x - \text{ア})^2 = x^2 - 16x + \text{イ}$

(2) $(x + \text{ウ})(x + 8) = x^2 + 15x + \text{エ}$

(3) $\text{オ}a^2 - 9 = (\text{カ}a + 3)(2a - \text{キ})$

(4) $49x^2 - 42xy + \text{ク}y^2 = (7x - \text{ケ}y)^2$

(5) $x^2 + \square x - 12$ が因数分解できるように $\square$ の中にはまる整数を決めるとき、何通りの決め方がありますか。

2. 解き方の手順

(1) $(x - \text{ア})^2 = x^2 - 2 \cdot \text{ア} x + \text{ア}^2$ より、

$2 \cdot \text{ア} = 16$ であるから、 $\text{ア} = 8$

$\text{イ} = \text{ア}^2 = 8^2 = 64$

(2) $(x + \text{ウ})(x + 8) = x^2 + (8 + \text{ウ})x + 8\text{ウ}$ より、

$8 + \text{ウ} = 15$ であるから、$\text{ウ} = 7$

$\text{エ} = 8\text{ウ} = 8 \cdot 7 = 56$

(3) $\text{オ}a^2 - 9 = (\text{カ}a + 3)(2a - \text{キ})$ について、左辺は$(\sqrt{\text{オ}}a + 3)(\sqrt{\text{オ}}a - 3)$と因数分解できる。

右辺を展開すると$2\text{カ}a^2 - \text{カキ}a + 6a - 3\text{キ} = 2\text{カ}a^2 + (6-\text{カキ})a - 3\text{キ}$

したがって$\text{オ}=4, \text{カ}=2, \text{キ}=3$

(4) $49x^2 - 42xy + \text{ク}y^2 = (7x - \text{ケ}y)^2 = 49x^2 - 14\text{ケ}xy + \text{ケ}^2y^2$ より、

$14\text{ケ} = 42$ であるから、$\text{ケ} = 3$

$\text{ク} = \text{ケ}^2 = 3^2 = 9$

(5) $x^2 + \square x - 12 = (x + a)(x + b)$と因数分解できるとき、$ab = -12$であり、$\square = a+b$。

$ab = -12$となる整数の組$(a, b)$は、

$(1, -12)$, $(-1, 12)$, $(2, -6)$, $(-2, 6)$, $(3, -4)$, $(-3, 4)$, $(4, -3)$, $(-4, 3)$, $(6, -2)$, $(-6, 2)$, $(12, -1)$, $(-12, 1)$

したがって、$a+b$の値は $-11, 11, -4, 4, -1, 1, 1, -1, 4, -4, 11, -11$ の 6通り。

3. 最終的な答え

(1) ア = 8, イ = 64

(2) ウ = 7, エ = 56

(3) オ = 4, カ = 2, キ = 3

(4) ク = 9, ケ = 3

(5) 6通り