$A = 2x - y$, $B = x - 2y$ のとき、$(A + 2B)(A - B)$ を展開した結果を $x, y$ を用いて表しなさい。

わかりました。画像にある数学の問題を解きます。今回は問題3に取り組みます。

1. 問題の内容

$A = 2x - y$, $B = x - 2y$ のとき、$(A + 2B)(A - B)$ を展開した結果を $x, y$ を用いて表しなさい。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式 $(A + 2B)(A - B)$ を展開します。

$(A + 2B)(A - B) = A^2 - AB + 2BA - 2B^2 = A^2 + AB - 2B^2$

次に、$A$ と $B$ にそれぞれの式を代入します。

$A^2 = (2x - y)^2 = 4x^2 - 4xy + y^2$

$AB = (2x - y)(x - 2y) = 2x^2 - 4xy - xy + 2y^2 = 2x^2 - 5xy + 2y^2$

$B^2 = (x - 2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$

$-2B^2 = -2(x^2 - 4xy + 4y^2) = -2x^2 + 8xy - 8y^2$

したがって、

$A^2 + AB - 2B^2 = (4x^2 - 4xy + y^2) + (2x^2 - 5xy + 2y^2) + (-2x^2 + 8xy - 8y^2)$

同類項をまとめます。

$4x^2 + 2x^2 - 2x^2 - 4xy - 5xy + 8xy + y^2 + 2y^2 - 8y^2 = 4x^2 - xy - 5y^2$

3. 最終的な答え

$4x^2 - xy - 5y^2$