次の式を計算します。 $\frac{\sqrt{9+\sqrt{56}}}{\sqrt{6-3\sqrt{3}}}$

1. 問題の内容

次の式を計算します。

$\frac{\sqrt{9+\sqrt{56}}}{\sqrt{6-3\sqrt{3}}}$

2. 解き方の手順

まず、分子の根号の中を簡略化します。

$\sqrt{56} = \sqrt{4 \times 14} = 2\sqrt{14}$.

$9+\sqrt{56} = 9 + 2\sqrt{14} = (\sqrt{7}+\sqrt{2})^2$

したがって、$\sqrt{9+\sqrt{56}}=\sqrt{7}+\sqrt{2}$

次に、分母の根号の中を簡略化します。

$6 - 3\sqrt{3}$ を２乗の形にすることを考えます。

$\sqrt{6-3\sqrt{3}} = \sqrt{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2+6}$

根号の中身は、$\sqrt{3}$の係数が奇数であることから、簡略化が難しいと判断できます。

分母分子に$\sqrt{6+3\sqrt{3}}$をかけます。

$\frac{\sqrt{9+\sqrt{56}}}{\sqrt{6-3\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{9+\sqrt{56}}\sqrt{6+3\sqrt{3}}}{\sqrt{(6-3\sqrt{3})(6+3\sqrt{3})}} = \frac{\sqrt{9+\sqrt{56}}\sqrt{6+3\sqrt{3}}}{\sqrt{36-27}}=\frac{\sqrt{9+\sqrt{56}}\sqrt{6+3\sqrt{3}}}{3}$

$(\sqrt{7}+\sqrt{2}) \sqrt{6+3\sqrt{3}}/3$

分子を計算しやすくするため、分母分子に$\sqrt{2}$をかける。

$\frac{\sqrt{9+\sqrt{56}}}{\sqrt{6-3\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{9+2\sqrt{14}}}{\sqrt{6-3\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{6-3\sqrt{3}}}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{6-3\sqrt{3}}}$

式を簡略化することは難しい。

最終的な答え：$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{6-3\sqrt{3}}}$