与えられた式 $ab^2 - a^2c + b^2a - c^2a + bc^2 - c^2b$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab^2 - a^2c + b^2a - c^2a + bc^2 - c^2b$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を整理し、共通因数を見つけやすいように並べ替えます。

$ab^2 - a^2c + b^2a - c^2a + bc^2 - c^2b$

$= ab(b + a) - ac(a + c) + bc(c - b) - a(c^2)$

次に、式全体で共通の因数がないか探します。式をaについて整理してみます。

$= a(b^2 - ac + b^2 - c^2) + bc(c - b)$

$= a(2b^2 - ac - c^2) + bc(c - b)$

$= a(2b^2 - c(a + c)) + bc(c - b)$

残念ながら、これではうまく因数分解できません。

a, b, cについて次数が同じなので、どれか一つの文字に着目して整理します。ここでは a について整理してみます。

$ab^2 - a^2c + b^2a - c^2a + bc^2 - c^2b$

$= (b^2 + b^2 - c^2)a - a^2c - c^2b + bc^2$

$= (b^2 + b^2 - c^2)a - a^2c + bc^2 - c^2b$

$= a(b^2+b^2-c^2) - a^2c + bc(c-b)$

$= a(b^2 + b^2 - c^2) - c(a^2-bc+c^2)$

$= a(b^2 + b^2 - c^2) - a^2c + bc^2 - bc^2$

aについて整理するという方針は間違いだったようです。

順番を変えて式全体を因数分解することを試みます。

$ab^2 - a^2c + b^2a - c^2a + bc^2 - c^2b$

$= ab(b+a) - a(c^2+ac)+bc(c-b)$

与えられた式を整理して、因数分解しやすい形にしましょう。

$ab^2 - a^2c + a^2b - ac^2 + bc^2 - b c^2$

$= a(b^2+ab-ac-c^2) +bc(c-b)$

$=a(b+c)(b-c)+bc(c-b)$

$=a(b+c)(b-c)-bc(b-c)$

$=(b-c)[a(b+c)-bc]$

$=(b-c)(ab+ac-bc-ca)$

$=(b-c)[b(a-c)+c(a-c)]$

$=(b-c)(a-c)(b-c)$

$=(a-c)(b-c)(b+c)$

$= (a-c)(b-c)(b+a)$

3. 最終的な答え

$(a-c)(b-c)(a+b)$

または

$(a+b)(b-c)(a-c)$