与えられた式 $(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1)$ を展開して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1)$ を展開して簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、最初の2つの括弧と、最後の2つの括弧をそれぞれ計算します。

最初の2つの括弧を計算します:

$(x+y+1)(x+y-1)$

これは $(A+1)(A-1)$ の形であり、$A = x+y$ と置くと、$A^2 - 1$ となります。

したがって、

$(x+y+1)(x+y-1) = (x+y)^2 - 1 = x^2 + 2xy + y^2 - 1$

次に、最後の2つの括弧を計算します:

$(x-y+1)(x-y-1)$

これは $(B+1)(B-1)$ の形であり、$B = x-y$ と置くと、$B^2 - 1$ となります。

したがって、

$(x-y+1)(x-y-1) = (x-y)^2 - 1 = x^2 - 2xy + y^2 - 1$

次に、これらの結果を掛け合わせます。

$(x^2 + 2xy + y^2 - 1)(x^2 - 2xy + y^2 - 1)$

ここで、$C = x^2 + y^2 - 1$ と置くと、$(C + 2xy)(C - 2xy)$ となり、$C^2 - (2xy)^2$ となります。

したがって、

$(x^2 + 2xy + y^2 - 1)(x^2 - 2xy + y^2 - 1) = (x^2 + y^2 - 1)^2 - (2xy)^2$

$= (x^2 + y^2 - 1)(x^2 + y^2 - 1) - 4x^2y^2$

$= x^4 + x^2y^2 - x^2 + x^2y^2 + y^4 - y^2 - x^2 - y^2 + 1 - 4x^2y^2$

$= x^4 + 2x^2y^2 - 2x^2 + y^4 - 2y^2 + 1 - 4x^2y^2$

$= x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 - 2y^2 + 1$

$= (x^2 - y^2)^2 - 2(x^2 + y^2) + 1$

3. 最終的な答え

$x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 - 2y^2 + 1$