複素数平面上の点 $z$ が与えられたとき、以下の点がそれぞれ点 $z$ をどのように移動させた点であるかを答える問題です。 (1) $\frac{-\sqrt{3} + i}{2} z$ (2) $(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i)z$ (3) $-3iz$

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $z$ が与えられたとき、以下の点がそれぞれ点 $z$ をどのように移動させた点であるかを答える問題です。

(1) $\frac{-\sqrt{3} + i}{2} z$

(2) $(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i)z$

(3) $-3iz$

2. 解き方の手順

複素数 $a+bi$ をかけることは、原点を中心とする回転と拡大・縮小を表します。

複素数 $a+bi$ を極形式 $r(\cos \theta + i\sin \theta)$ で表すことで、点 $z$ を原点を中心に $\theta$ 回転させ、 $|r|$ 倍する操作であることがわかります。

(1) $\frac{-\sqrt{3} + i}{2}$ の極形式を求めます。

$r = \sqrt{(\frac{-\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = 1$

$\cos \theta = \frac{-\sqrt{3}}{2}$, $\sin \theta = \frac{1}{2}$ より、$\theta = \frac{5\pi}{6}$

したがって、$\frac{-\sqrt{3} + i}{2} = \cos \frac{5\pi}{6} + i\sin \frac{5\pi}{6}$

よって、点 $z$ を原点を中心に$\frac{5\pi}{6}$回転させる移動となります。

(2) $\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i$ の極形式を求めます。

$r = \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{-1}{\sqrt{2}})^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1$

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin \theta = \frac{-1}{\sqrt{2}}$ より、$\theta = -\frac{\pi}{4}$

したがって、$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i = \cos (-\frac{\pi}{4}) + i\sin (-\frac{\pi}{4})$

よって、点 $z$ を原点を中心に$-\frac{\pi}{4}$回転させる移動となります。

(3) $-3i$ の極形式を求めます。

$r = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = 3$

$\cos \theta = 0$, $\sin \theta = -1$ より、$\theta = -\frac{\pi}{2}$

したがって、$-3i = 3(\cos (-\frac{\pi}{2}) + i\sin (-\frac{\pi}{2}))$

よって、点 $z$ を原点を中心に$-\frac{\pi}{2}$回転させ、3倍する移動となります。

3. 最終的な答え

(1) 原点を中心に$\frac{5\pi}{6}$回転させる。

(2) 原点を中心に$-\frac{\pi}{4}$回転させる。

(3) 原点を中心に$-\frac{\pi}{2}$回転させ、3倍する。