複素数 $z = 6 - 8i$ を、原点を中心として与えられた角度だけ回転させた複素数を求める問題です。与えられた角度は、(1) $\frac{\pi}{3}$, (2) $\frac{5}{6}\pi$, (3) $-\frac{\pi}{2}$, (4) $\frac{\pi}{6}$ の4つです。

1. 問題の内容

複素数 $z = 6 - 8i$ を、原点を中心として与えられた角度だけ回転させた複素数を求める問題です。与えられた角度は、(1) $\frac{\pi}{3}$, (2) $\frac{5}{6}\pi$, (3) $-\frac{\pi}{2}$, (4) $\frac{\pi}{6}$ の4つです。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を $\theta$ ラジアンだけ回転させるには、$z$ に $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ を掛けます。

(1) $\theta = \frac{\pi}{3}$ の場合：

$e^{i\frac{\pi}{3}} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、回転後の複素数は

$(6 - 8i)(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 3 + 3\sqrt{3}i - 4i - 4i^2\sqrt{3} = 3 + 4\sqrt{3} + (3\sqrt{3} - 4)i$

$= (3+4\sqrt{3}) + (3\sqrt{3} - 4)i$

(2) $\theta = \frac{5}{6}\pi$ の場合：

$e^{i\frac{5}{6}\pi} = \cos\frac{5}{6}\pi + i\sin\frac{5}{6}\pi = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$

したがって、回転後の複素数は

$(6 - 8i)(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -3\sqrt{3} + 3i + 4\sqrt{3}i - 4i^2 = -3\sqrt{3} + 4 + (3+4\sqrt{3})i$

$= (4-3\sqrt{3}) + (3+4\sqrt{3})i$

(3) $\theta = -\frac{\pi}{2}$ の場合：

$e^{-i\frac{\pi}{2}} = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 - i$

したがって、回転後の複素数は

$(6 - 8i)(-i) = -6i + 8i^2 = -8 - 6i$

(4) $\theta = \frac{\pi}{6}$ の場合：

$e^{i\frac{\pi}{6}} = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$

したがって、回転後の複素数は

$(6 - 8i)(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = 3\sqrt{3} + 3i - 4\sqrt{3}i - 4i^2 = 3\sqrt{3} + 4 + (3-4\sqrt{3})i$

$= (4+3\sqrt{3}) + (3-4\sqrt{3})i$

3. 最終的な答え

(1) $(3+4\sqrt{3}) + (3\sqrt{3} - 4)i$

(2) $(4-3\sqrt{3}) + (3+4\sqrt{3})i$

(3) $-8 - 6i$

(4) $(4+3\sqrt{3}) + (3-4\sqrt{3})i$