与えられた3次方程式 $x^3 - 3x - 1 = 0$ の解 $\alpha$ について、以下の3つの事柄を示す問題です。 (1) $\alpha$ は整数ではない。 (2) $\alpha$ は有理数ではない。 (3) $\alpha$ は $p + q\sqrt{3}$ (ただし、$p, q$ は有理数) の形で表せない。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 - 3x - 1 = 0$ の解 $\alpha$ について、以下の3つの事柄を示す問題です。

(1) $\alpha$ は整数ではない。

(2) $\alpha$ は有理数ではない。

(3) $\alpha$ は $p + q\sqrt{3}$ (ただし、$p, q$ は有理数) の形で表せない。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha$ は整数ではないことを示す。

もし $\alpha$ が整数解を持つと仮定すると、$\alpha$ は $-1$ の約数でなければならない（整数解の候補は $\pm 1$）。

$\alpha = 1$ のとき、$1^3 - 3(1) - 1 = 1 - 3 - 1 = -3 \neq 0$。

$\alpha = -1$ のとき、$(-1)^3 - 3(-1) - 1 = -1 + 3 - 1 = 1 \neq 0$。

したがって、$\alpha$ は整数解を持たない。

(2) $\alpha$ は有理数ではないことを示す。

もし $\alpha$ が有理数解を持つと仮定すると、有理数解定理より、$\alpha$ は $\frac{\pm 1}{1}$ の形になる必要がある。つまり、整数解の候補と同様に、有理数解の候補は $\pm 1$ となる。しかし、(1) で示したように、$\pm 1$ は解ではない。したがって、$\alpha$ は有理数解を持たない。

(3) $\alpha$ は $p + q\sqrt{3}$ の形で表せないことを示す。

$\alpha = p + q\sqrt{3}$ と仮定する (ここで、$p, q$ は有理数)。

$\alpha^3 - 3\alpha - 1 = 0$ に代入すると、

$(p + q\sqrt{3})^3 - 3(p + q\sqrt{3}) - 1 = 0$

$p^3 + 3p^2q\sqrt{3} + 3p(q\sqrt{3})^2 + (q\sqrt{3})^3 - 3p - 3q\sqrt{3} - 1 = 0$

$p^3 + 3p^2q\sqrt{3} + 9pq^2 + 3q^3\sqrt{3} - 3p - 3q\sqrt{3} - 1 = 0$

$(p^3 + 9pq^2 - 3p - 1) + (3p^2q + 3q^3 - 3q)\sqrt{3} = 0$

$p$ と $q$ は有理数であるから、$p^3 + 9pq^2 - 3p - 1$ と $3p^2q + 3q^3 - 3q$ も有理数である。

したがって、

$p^3 + 9pq^2 - 3p - 1 = 0$

$3p^2q + 3q^3 - 3q = 0$

2番目の式から $3q(p^2 + q^2 - 1) = 0$。

したがって、$q = 0$ または $p^2 + q^2 = 1$。

(i) $q = 0$ の場合、1番目の式は $p^3 - 3p - 1 = 0$ となる。これは $\alpha$ が有理数解を持つ場合と同じであり、(2) より、そのような $p$ は存在しない。

(ii) $p^2 + q^2 = 1$ の場合、$q^2 = 1 - p^2$ を1番目の式に代入すると、

$p^3 + 9p(1-p^2) - 3p - 1 = 0$

$p^3 + 9p - 9p^3 - 3p - 1 = 0$

$-8p^3 + 6p - 1 = 0$

$8p^3 - 6p + 1 = 0$

$p = \cos \theta$ と置くと、$8 \cos^3 \theta - 6 \cos \theta + 1 = 0$。

$2(4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta) + 1 = 0$

$2 \cos 3\theta + 1 = 0$

$\cos 3\theta = -\frac{1}{2}$

$3\theta = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$ または $3\theta = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$ (ただし、$n$ は整数)。

$\theta = \frac{2\pi}{9} + \frac{2n\pi}{3}$ または $\theta = \frac{4\pi}{9} + \frac{2n\pi}{3}$

したがって、$p = \cos \frac{2\pi}{9}$, $\cos \frac{8\pi}{9}$, $\cos \frac{14\pi}{9}$, $\cos \frac{4\pi}{9}$, $\cos \frac{10\pi}{9}$, $\cos \frac{16\pi}{9}$。

これらの値は有理数ではないので、$p$ は有理数という仮定に矛盾する。

以上より、$\alpha$ は $p + q\sqrt{3}$ の形で表せない。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha$ は整数ではない。

(2) $\alpha$ は有理数ではない。

(3) $\alpha$ は $p + q\sqrt{3}$ (ただし、$p, q$ は有理数) の形で表せない。