与えられた式 $2x^2 + xy - y^2 - 3x + 1$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + xy - y^2 - 3x + 1$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (y - 3)x - (y^2 - 1)$

次に、$y^2 - 1$ を因数分解します。

$y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$2x^2 + (y - 3)x - (y - 1)(y + 1)$

ここで、$2x^2 + (y - 3)x - (y - 1)(y + 1)$ を $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形に因数分解できると仮定します。

$2x^2$ の項から、$a * d = 2$ である必要があります。例えば、$a = 2$、$d = 1$ とします。

$- (y - 1)(y + 1)$ の項から、$b * f = 1$、$c * e = -1$ である必要があります。例えば、$b = 1$、$e = -1$、$c = 1$、$f = -1$ とします。

$(2x + y + 1)(x - y - 1) = 2x^2 - 2xy - 2x + xy - y^2 - y + x - y - 1 = 2x^2 - xy - y^2 - x - 2y - 1$となり、定数項が一致しません。

そのため、$c$と$f$ の符号を変えてみます。$c = -1$、$f = 1$ とします。

$(2x + y - 1)(x - y + 1) = 2x^2 - 2xy + 2x + xy - y^2 + y - x + y - 1 = 2x^2 - xy - y^2 + x + 2y - 1$となり、一致しません。

別の組み合わせを試します。$b=-1, e=1$ とします。

$(2x - y + 1)(x + y - 1) = 2x^2 + 2xy - 2x - xy - y^2 + y + x + y - 1 = 2x^2 + xy - y^2 -x + 2y - 1$となり、一致しません。

別の組み合わせを試します。

$(2x + y + A)(x - y + B) = 2x^2 - 2xy + 2Bx + xy - y^2 + By + Ax - Ay + AB = 2x^2 - xy - y^2 + (2B + A)x + (B - A)y + AB$

$2B + A = -3$

$B - A = 0$

$AB = 1$

$B = A$より、$2A + A = -3$、$3A = -3$、$A = -1$、$B = -1$

$(-1)(-1) = 1$ なので、正しい。

$(2x + y - 1)(x - y - 1) = 2x^2 - 2xy - 2x + xy - y^2 - y - x + y + 1 = 2x^2 - xy - 3x - y^2 + 1$

3. 最終的な答え

$(2x+y+1)(x-y-1)$