与えられた式 $\frac{3}{x^2-x-12} - \frac{5}{x^2+2x-24}$ を計算し、簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{3}{x^2-x-12} - \frac{5}{x^2+2x-24}$ を計算し、簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^2 - x - 12 = (x-4)(x+3)$

$x^2 + 2x - 24 = (x+6)(x-4)$

次に、共通分母を見つけます。共通分母は $(x-4)(x+3)(x+6)$ です。

それぞれの分数を通分します。

$\frac{3}{(x-4)(x+3)} = \frac{3(x+6)}{(x-4)(x+3)(x+6)}$

$\frac{5}{(x+6)(x-4)} = \frac{5(x+3)}{(x+6)(x-4)(x+3)}$

与式は、

$\frac{3(x+6)}{(x-4)(x+3)(x+6)} - \frac{5(x+3)}{(x+6)(x-4)(x+3)}$

$=\frac{3(x+6) - 5(x+3)}{(x-4)(x+3)(x+6)}$

$=\frac{3x + 18 - 5x - 15}{(x-4)(x+3)(x+6)}$

$=\frac{-2x + 3}{(x-4)(x+3)(x+6)}$

3. 最終的な答え

$\frac{-2x+3}{(x-4)(x+3)(x+6)}$