複素数 $\alpha = 6+6i$ と $\beta = \sqrt{3}+i$ が与えられたとき、$\alpha\beta$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ を極形式で表す。ただし、偏角 $\theta$ の範囲は $0 \leq \theta < 2\pi$ とする。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = 6+6i$ と $\beta = \sqrt{3}+i$ が与えられたとき、$\alpha\beta$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ を極形式で表す。ただし、偏角 $\theta$ の範囲は $0 \leq \theta < 2\pi$ とする。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha$ と $\beta$ を極形式で表す。

$\alpha = 6+6i = 6\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i) = 6\sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}}+i\sin{\frac{\pi}{4}})$

$\beta = \sqrt{3}+i = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) = 2(\cos{\frac{\pi}{6}} + i\sin{\frac{\pi}{6}})$

(2) $\alpha\beta$ を計算する。

$\alpha\beta = 6\sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}}+i\sin{\frac{\pi}{4}}) \cdot 2(\cos{\frac{\pi}{6}} + i\sin{\frac{\pi}{6}})$

$= 12\sqrt{2}(\cos{(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6})} + i\sin{(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6})})$

$= 12\sqrt{2}(\cos{\frac{5\pi}{12}} + i\sin{\frac{5\pi}{12}})$

(3) $\frac{\alpha}{\beta}$ を計算する。

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{6\sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}}+i\sin{\frac{\pi}{4}})}{2(\cos{\frac{\pi}{6}} + i\sin{\frac{\pi}{6}})}$

$= 3\sqrt{2}(\cos{(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6})} + i\sin{(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6})})$

$= 3\sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{12}} + i\sin{\frac{\pi}{12}})$

3. 最終的な答え

$\alpha\beta = 12\sqrt{2}(\cos{\frac{5\pi}{12}} + i\sin{\frac{5\pi}{12}})$

$\frac{\alpha}{\beta} = 3\sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{12}} + i\sin{\frac{\pi}{12}})$