以下の複素数の計算を行いなさい。 (1) $(1 + \sqrt{3}i)^6$ (2) $(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i)^7$ (3) $(1 - i)^{-10}$ (4) $(\frac{3 + \sqrt{3}i}{2})^{-4}$

はい、承知いたしました。問題文に書かれている4つの複素数の計算問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の複素数の計算を行いなさい。

(1) $(1 + \sqrt{3}i)^6$

(2) $(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i)^7$

(3) $(1 - i)^{-10}$

(4) $(\frac{3 + \sqrt{3}i}{2})^{-4}$

2. 解き方の手順

複素数の計算は、極形式に変換して行うと簡単になります。

(1) $(1 + \sqrt{3}i)^6$

$z = 1 + \sqrt{3}i$とおくと、$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$、$\theta = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{1}) = \frac{\pi}{3}$。

したがって、$z = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$。

ド・モアブルの定理より、

$z^6 = 2^6(\cos(6\cdot\frac{\pi}{3}) + i\sin(6\cdot\frac{\pi}{3})) = 64(\cos(2\pi) + i\sin(2\pi)) = 64(1 + 0i) = 64$。

(2) $(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i)^7$

$z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$とおくと、$r = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = 1$、$\theta = \arctan(\frac{-1/2}{\sqrt{3}/2}) = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$。

したがって、$z = \cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6})$。

ド・モアブルの定理より、

$z^7 = \cos(7\cdot(-\frac{\pi}{6})) + i\sin(7\cdot(-\frac{\pi}{6})) = \cos(-\frac{7\pi}{6}) + i\sin(-\frac{7\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6}) - i\sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$。

(3) $(1 - i)^{-10}$

$z = 1 - i$とおくと、$r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$、$\theta = \arctan(\frac{-1}{1}) = -\frac{\pi}{4}$。

したがって、$z = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$。

ド・モアブルの定理より、

$z^{-10} = (\sqrt{2})^{-10}(\cos(-10\cdot(-\frac{\pi}{4})) + i\sin(-10\cdot(-\frac{\pi}{4}))) = 2^{-5}(\cos(\frac{5\pi}{2}) + i\sin(\frac{5\pi}{2})) = \frac{1}{32}(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})) = \frac{1}{32}(0 + i) = \frac{i}{32}$。

(4) $(\frac{3 + \sqrt{3}i}{2})^{-4}$

$z = \frac{3 + \sqrt{3}i}{2}$とおくと、$r = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{3}$、$\theta = \arctan(\frac{\sqrt{3}/2}{3/2}) = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$。

したがって、$z = \sqrt{3}(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$。

ド・モアブルの定理より、

$z^{-4} = (\sqrt{3})^{-4}(\cos(-4\cdot\frac{\pi}{6}) + i\sin(-4\cdot\frac{\pi}{6})) = (\frac{1}{3^2})(\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3})) = \frac{1}{9}(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3})) = \frac{1}{9}(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = -\frac{1}{18} - \frac{\sqrt{3}}{18}i$。

3. 最終的な答え

(1) 64

(2) $-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

(3) $\frac{i}{32}$

(4) $-\frac{1}{18} - \frac{\sqrt{3}}{18}i$