複素数平面上の点 $z$ が与えられたとき、次の各複素数に対応する点は、点 $z$ をどのように移動させた点であるかを答えます。 (1) $\frac{-\sqrt{3} + i}{2} z$ (2) $(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i) z$ (3) $-3iz$

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $z$ が与えられたとき、次の各複素数に対応する点は、点 $z$ をどのように移動させた点であるかを答えます。

(1) $\frac{-\sqrt{3} + i}{2} z$

(2) $(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i) z$

(3) $-3iz$

2. 解き方の手順

各複素数を極形式で表し、回転と拡大・縮小を考えます。

(1) $\frac{-\sqrt{3} + i}{2}$ の絶対値を $r_1$、偏角を $\theta_1$ とすると、

$r_1 = \sqrt{(\frac{-\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = 1$

$\cos \theta_1 = \frac{-\sqrt{3}}{2}$、$\sin \theta_1 = \frac{1}{2}$ より、$\theta_1 = \frac{5}{6}\pi$

よって、$\frac{-\sqrt{3} + i}{2} = \cos(\frac{5}{6}\pi) + i \sin(\frac{5}{6}\pi)$

したがって、$\frac{-\sqrt{3} + i}{2} z$ は、$z$ を原点中心に $\frac{5}{6}\pi$ 回転させた点です。

(2) $\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i$ の絶対値を $r_2$、偏角を $\theta_2$ とすると、

$r_2 = \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1$

$\cos \theta_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin \theta_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\theta_2 = -\frac{\pi}{4}$

よって、$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i = \cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4})$

したがって、$(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i) z$ は、$z$ を原点中心に $-\frac{\pi}{4}$ 回転させた点です。

(3) $-3iz$ の絶対値を $r_3$、偏角を $\theta_3$ とすると、

$-3i = 3(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}))$

したがって、$-3iz$ は、$z$ を原点中心に $-\frac{\pi}{2}$ 回転させ、絶対値を3倍した点です。

3. 最終的な答え

(1) 原点中心に $\frac{5}{6}\pi$ 回転

(2) 原点中心に $-\frac{\pi}{4}$ 回転

(3) 原点中心に $-\frac{\pi}{2}$ 回転し、絶対値を3倍