問題は以下の通りです。 (4) 頂点が直線 $y = -3x + 1$ 上にあり、2点 $(1, -4)$, $(5, 4)$ を通る放物線を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(4) 頂点が直線 $y = -3x + 1$ 上にあり、2点 $(1, -4)$, $(5, 4)$ を通る放物線を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線の頂点の座標を $(p, -3p + 1)$ とおくと、放物線の方程式は

$y = a(x - p)^2 - 3p + 1$

と表せる。

この放物線が点 $(1, -4)$ と $(5, 4)$ を通るので、

$a(1 - p)^2 - 3p + 1 = -4$

$a(5 - p)^2 - 3p + 1 = 4$

これらを整理すると、

$a(1 - 2p + p^2) - 3p + 5 = 0$

$a(25 - 10p + p^2) - 3p - 3 = 0$

$a(1 - 2p + p^2) = 3p - 5$

$a(25 - 10p + p^2) = 3p + 3$

よって、

$\frac{3p - 5}{1 - 2p + p^2} = \frac{3p + 3}{25 - 10p + p^2}$

$(3p - 5)(25 - 10p + p^2) = (3p + 3)(1 - 2p + p^2)$

$75p - 30p^2 + 3p^3 - 125 + 50p - 5p^2 = 3p - 6p^2 + 3p^3 + 3 - 6p + 3p^2$

$3p^3 - 35p^2 + 125p - 125 = 3p^3 - 3p^2 - 3p + 3$

$-32p^2 + 128p - 128 = 0$

$p^2 - 4p + 4 = 0$

$(p - 2)^2 = 0$

$p = 2$

$p = 2$ より、頂点の座標は $(2, -3(2) + 1) = (2, -5)$ となる。

$a(1 - 2)^2 - 3(2) + 1 = -4$

$a - 6 + 1 = -4$

$a - 5 = -4$

$a = 1$

したがって、放物線の方程式は

$y = (x - 2)^2 - 5 = x^2 - 4x + 4 - 5 = x^2 - 4x - 1$

3. 最終的な答え

$y = x^2 - 4x - 1$