$x > 0$ のとき、不等式 $x + \frac{1}{x} \geq 2$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つのがどのような時かを求める問題です。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、不等式 $x + \frac{1}{x} \geq 2$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つのがどのような時かを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x > 0$ かつ $\frac{1}{x} > 0$ であることから、相加平均と相乗平均の大小関係を利用します。

相加平均と相乗平均の大小関係より、

$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$

が成り立ちます。

この式を変形すると、

$x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$

$x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{1}$

$x + \frac{1}{x} \geq 2$

となります。

これで不等式 $x + \frac{1}{x} \geq 2$ が証明できました。

次に、等号が成り立つ場合を考えます。

相加平均と相乗平均の大小関係において、等号が成り立つのは $x = \frac{1}{x}$ のときです。

$x = \frac{1}{x}$ を変形すると、

$x^2 = 1$

$x > 0$ の条件より、$x = 1$ となります。

したがって、等号が成り立つのは $x = 1$ のときです。

3. 最終的な答え

不等式 $x + \frac{1}{x} \geq 2$ は証明されました。

等号が成り立つのは $x = 1$ のときです。