次の2つの関数のグラフを描く問題です。 (1) $y = |x^2 - 4x| + 3$ (2) $y = |x - 1| + |x^2 - 1|$

1. 問題の内容

次の2つの関数のグラフを描く問題です。

(1) $y = |x^2 - 4x| + 3$

(2) $y = |x - 1| + |x^2 - 1|$

2. 解き方の手順

(1) $y = |x^2 - 4x| + 3$ のグラフ

まず、$y = x^2 - 4x$ のグラフを描きます。これは $y = (x-2)^2 - 4$ と変形できるので、頂点が $(2, -4)$ の放物線です。

次に、$y = |x^2 - 4x|$ のグラフを描きます。これは、$y = x^2 - 4x$ のグラフの $y < 0$ の部分をx軸に関して折り返したものです。

最後に、$y = |x^2 - 4x| + 3$ のグラフを描きます。これは、$y = |x^2 - 4x|$ のグラフをy軸方向に3だけ平行移動したものです。

(2) $y = |x - 1| + |x^2 - 1|$ のグラフ

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ であることに注意します。

場合分けを行います。

(i) $x < -1$ のとき、$x - 1 < 0$ かつ $x^2 - 1 > 0$ なので、$y = -(x - 1) + (x^2 - 1) = -x + 1 + x^2 - 1 = x^2 - x$

(ii) $-1 \le x < 1$ のとき、$x - 1 < 0$ かつ $x^2 - 1 \le 0$ なので、$y = -(x - 1) - (x^2 - 1) = -x + 1 - x^2 + 1 = -x^2 - x + 2$

(iii) $x \ge 1$ のとき、$x - 1 \ge 0$ かつ $x^2 - 1 \ge 0$ なので、$y = (x - 1) + (x^2 - 1) = x - 1 + x^2 - 1 = x^2 + x - 2$

したがって、

$y = \begin{cases} x^2 - x & (x < -1) \\ -x^2 - x + 2 & (-1 \le x < 1) \\ x^2 + x - 2 & (x \ge 1) \end{cases}$

この区分的に定義された関数をグラフに描きます。

3. 最終的な答え

(1) $y = |x^2 - 4x| + 3$ のグラフは、$y = x^2 - 4x$ のグラフの $y < 0$ の部分をx軸に関して折り返し、さらにy軸方向に3だけ平行移動したものです。

(2) $y = |x - 1| + |x^2 - 1|$ のグラフは、区分的に定義された関数

$y = \begin{cases} x^2 - x & (x < -1) \\ -x^2 - x + 2 & (-1 \le x < 1) \\ x^2 + x - 2 & (x \ge 1) \end{cases}$

のグラフです。

グラフの概形は省略します。それぞれの範囲で二次関数のグラフを描き、それらを繋げたものになります。