3点$(-1, 3)$, $(0, -5)$, $(2, 1)$を通る放物線を求めます。

## (2)の問題

1. 問題の内容

3点$(-1, 3)$, $(0, -5)$, $(2, 1)$を通る放物線を求めます。

2. 解き方の手順

放物線の方程式を$y = ax^2 + bx + c$とおきます。

それぞれの点を通ることから、以下の3つの式が得られます。

* 点$(-1, 3)$を通ることから: $3 = a(-1)^2 + b(-1) + c$, つまり $a - b + c = 3$

* 点$(0, -5)$を通ることから: $-5 = a(0)^2 + b(0) + c$, つまり $c = -5$

* 点$(2, 1)$を通ることから: $1 = a(2)^2 + b(2) + c$, つまり $4a + 2b + c = 1$

$c = -5$を他の2つの式に代入すると、

* $a - b - 5 = 3$, つまり $a - b = 8$

* $4a + 2b - 5 = 1$, つまり $4a + 2b = 6$

これらの連立方程式を解きます。 $a - b = 8$ より $a = b + 8$を $4a + 2b = 6$ に代入すると、

$4(b + 8) + 2b = 6$,

$4b + 32 + 2b = 6$,

$6b = -26$,

$b = -\frac{13}{3}$

$a = b + 8 = -\frac{13}{3} + \frac{24}{3} = \frac{11}{3}$

したがって、$a = \frac{11}{3}$, $b = -\frac{13}{3}$, $c = -5$となります。

3. 最終的な答え

$y = \frac{11}{3}x^2 - \frac{13}{3}x - 5$

## (3)の問題

1. 問題の内容

3点$(-2, -3)$, $(1, 4)$, $(2, -1)$を通る放物線を求めます。

2. 解き方の手順

放物線の方程式を$y = ax^2 + bx + c$とおきます。

それぞれの点を通ることから、以下の3つの式が得られます。

* 点$(-2, -3)$を通ることから: $-3 = a(-2)^2 + b(-2) + c$, つまり $4a - 2b + c = -3$

* 点$(1, 4)$を通ることから: $4 = a(1)^2 + b(1) + c$, つまり $a + b + c = 4$

* 点$(2, -1)$を通ることから: $-1 = a(2)^2 + b(2) + c$, つまり $4a + 2b + c = -1$

まず、$a + b + c = 4$より、$c = 4 - a - b$を他の2つの式に代入すると、

* $4a - 2b + (4 - a - b) = -3$, つまり $3a - 3b = -7$

* $4a + 2b + (4 - a - b) = -1$, つまり $3a + b = -5$

これらの連立方程式を解きます。$3a + b = -5$ より $b = -5 - 3a$ を $3a - 3b = -7$ に代入すると、

$3a - 3(-5 - 3a) = -7$,

$3a + 15 + 9a = -7$,

$12a = -22$,

$a = -\frac{11}{6}$

$b = -5 - 3a = -5 - 3(-\frac{11}{6}) = -5 + \frac{11}{2} = \frac{-10 + 11}{2} = \frac{1}{2}$

$c = 4 - a - b = 4 - (-\frac{11}{6}) - \frac{1}{2} = 4 + \frac{11}{6} - \frac{3}{6} = \frac{24 + 11 - 3}{6} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$

したがって、$a = -\frac{11}{6}$, $b = \frac{1}{2}$, $c = \frac{16}{3}$となります。

3. 最終的な答え

$y = -\frac{11}{6}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{16}{3}$