複素数 $\alpha = 1 + 2\sqrt{2}i$ と $\beta = 2\sqrt{6} - i$ が与えられたとき、以下の値を求める問題です。 (1) $|\alpha\beta|$ (2) $|\alpha^3|$ (3) $|\frac{\alpha}{\beta}|$ (4) $|\frac{\beta^2}{\alpha^4}|$

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = 1 + 2\sqrt{2}i$ と $\beta = 2\sqrt{6} - i$ が与えられたとき、以下の値を求める問題です。

(1) $|\alpha\beta|$

(2) $|\alpha^3|$

(3) $|\frac{\alpha}{\beta}|$

(4) $|\frac{\beta^2}{\alpha^4}|$

2. 解き方の手順

まず、複素数 $\alpha$ と $\beta$ の絶対値を求めます。

$|\alpha| = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3$

$|\beta| = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 + (-1)^2} = \sqrt{24 + 1} = \sqrt{25} = 5$

(1) $|\alpha\beta| = |\alpha||\beta| = 3 \times 5 = 15$

(2) $|\alpha^3| = |\alpha|^3 = 3^3 = 27$

(3) $|\frac{\alpha}{\beta}| = \frac{|\alpha|}{|\beta|} = \frac{3}{5}$

(4) $|\frac{\beta^2}{\alpha^4}| = \frac{|\beta^2|}{|\alpha^4|} = \frac{|\beta|^2}{|\alpha|^4} = \frac{5^2}{3^4} = \frac{25}{81}$

3. 最終的な答え

(1) 15

(2) 27

(3) $\frac{3}{5}$

(4) $\frac{25}{81}$