(1) 2点 $(-3, 0)$, $(5, 0)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x + 6$ 上にある放物線の頂点の座標を求める。 (2) 3点 $(-1, 3)$, $(0, -5)$, $(2, 1)$ を通る放物線を求める。 (3) 3点 $(-2, -3)$, $(1, 4)$, $(2, -1)$ を通る放物線を求める。

1. 問題の内容

(1) 2点 $(-3, 0)$, $(5, 0)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x + 6$ 上にある放物線の頂点の座標を求める。

(2) 3点 $(-1, 3)$, $(0, -5)$, $(2, 1)$ を通る放物線を求める。

(3) 3点 $(-2, -3)$, $(1, 4)$, $(2, -1)$ を通る放物線を求める。

2. 解き方の手順

(1)

放物線が2点 $(-3, 0)$, $(5, 0)$ を通るので、放物線の方程式を $y = a(x + 3)(x - 5)$ とおくことができる。

頂点が直線 $y = 2x + 6$ 上にあるので、頂点の $x$ 座標を $t$ とすると、$y$ 座標は $2t + 6$ となる。

頂点の $x$ 座標は、2点 $(-3, 0)$, $(5, 0)$ の $x$ 座標の中点なので、 $t = \frac{-3 + 5}{2} = 1$。

よって、頂点の $y$ 座標は $2(1) + 6 = 8$。

頂点の座標は $(1, 8)$ なので、これを放物線の方程式に代入すると、 $8 = a(1 + 3)(1 - 5)$ となる。

$8 = a(4)(-4)$ より、 $8 = -16a$ となり、$a = -\frac{1}{2}$。

よって、放物線の方程式は $y = -\frac{1}{2}(x + 3)(x - 5)$ となる。頂点の座標は $(1, 8)$ である。

(2)

3点 $(-1, 3)$, $(0, -5)$, $(2, 1)$ を通る放物線の方程式を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

3点の座標を代入すると、以下の3つの式が得られる。

$a(-1)^2 + b(-1) + c = 3$

$a(0)^2 + b(0) + c = -5$

$a(2)^2 + b(2) + c = 1$

これを整理すると

$a - b + c = 3$

$c = -5$

$4a + 2b + c = 1$

$c = -5$ を他の式に代入すると

$a - b - 5 = 3$

$4a + 2b - 5 = 1$

$a - b = 8$

$4a + 2b = 6$

$a - b = 8$ より $a = b + 8$ を $4a + 2b = 6$ に代入すると、

$4(b + 8) + 2b = 6$

$4b + 32 + 2b = 6$

$6b = -26$

$b = -\frac{13}{3}$

$a = b + 8 = -\frac{13}{3} + 8 = \frac{-13 + 24}{3} = \frac{11}{3}$

よって、放物線の方程式は $y = \frac{11}{3}x^2 - \frac{13}{3}x - 5$ となる。

頂点の $x$ 座標は $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-\frac{13}{3}}{2 \cdot \frac{11}{3}} = \frac{\frac{13}{3}}{\frac{22}{3}} = \frac{13}{22}$

頂点の $y$ 座標は $y = \frac{11}{3}(\frac{13}{22})^2 - \frac{13}{3}(\frac{13}{22}) - 5 = \frac{11}{3} \cdot \frac{169}{484} - \frac{169}{66} - 5 = \frac{169}{132} - \frac{338}{132} - \frac{660}{132} = \frac{-829}{132}$

頂点の座標は $(\frac{13}{22}, -\frac{829}{132})$

(3)

3点 $(-2, -3)$, $(1, 4)$, $(2, -1)$ を通る放物線の方程式を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

3点の座標を代入すると、以下の3つの式が得られる。

$a(-2)^2 + b(-2) + c = -3$

$a(1)^2 + b(1) + c = 4$

$a(2)^2 + b(2) + c = -1$

これを整理すると

$4a - 2b + c = -3$

$a + b + c = 4$

$4a + 2b + c = -1$

$4a - 2b + c = -3$ と $4a + 2b + c = -1$ の差をとると

$-4b = -2$ よって $b = \frac{1}{2}$

$a + b + c = 4$ に $b = \frac{1}{2}$ を代入すると、 $a + \frac{1}{2} + c = 4$ より $a + c = \frac{7}{2}$

$4a + 2b + c = -1$ に $b = \frac{1}{2}$ を代入すると、 $4a + 1 + c = -1$ より $4a + c = -2$

$(4a + c) - (a + c) = -2 - \frac{7}{2} = -\frac{11}{2}$

$3a = -\frac{11}{2}$ より $a = -\frac{11}{6}$

$c = \frac{7}{2} - a = \frac{7}{2} + \frac{11}{6} = \frac{21 + 11}{6} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$

よって、放物線の方程式は $y = -\frac{11}{6}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{16}{3}$ となる。

頂点の $x$ 座標は $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{\frac{1}{2}}{2 \cdot (-\frac{11}{6})} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{11}{3}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{11} = \frac{3}{22}$

頂点の $y$ 座標は $y = -\frac{11}{6}(\frac{3}{22})^2 + \frac{1}{2}(\frac{3}{22}) + \frac{16}{3} = -\frac{11}{6} \cdot \frac{9}{484} + \frac{3}{44} + \frac{16}{3} = -\frac{99}{2904} + \frac{3}{44} + \frac{16}{3} = -\frac{9}{264} + \frac{18}{264} + \frac{1408}{264} = \frac{1417}{264}$

頂点の座標は $(\frac{3}{22}, \frac{1417}{264})$

3. 最終的な答え

(1) (1, 8)

(2) $(\frac{13}{22}, -\frac{829}{132})$

(3) $(\frac{3}{22}, \frac{1417}{264})$