複素数 $\alpha$, $\beta$ について, $|\alpha| = 5$, $|\beta| = 4$ のとき, 次の値を求めよ。 (1) $|\alpha^3|$ (2) $|\alpha \beta^2|$ (3) $|\frac{1}{\alpha \beta}|$ (4) $|\frac{\beta^3}{\alpha^2}|$

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$, $\beta$ について, $|\alpha| = 5$, $|\beta| = 4$ のとき, 次の値を求めよ。

(1) $|\alpha^3|$

(2) $|\alpha \beta^2|$

(3) $|\frac{1}{\alpha \beta}|$

(4) $|\frac{\beta^3}{\alpha^2}|$

2. 解き方の手順

複素数の絶対値の性質 $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ と $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ を利用します。

(1) $|\alpha^3| = |\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha| = |\alpha| \cdot |\alpha| \cdot |\alpha| = |\alpha|^3 = 5^3 = 125$

(2) $|\alpha \beta^2| = |\alpha| |\beta^2| = |\alpha| |\beta|^2 = 5 \cdot 4^2 = 5 \cdot 16 = 80$

(3) $|\frac{1}{\alpha \beta}| = \frac{|1|}{|\alpha \beta|} = \frac{1}{|\alpha| |\beta|} = \frac{1}{5 \cdot 4} = \frac{1}{20}$

(4) $|\frac{\beta^3}{\alpha^2}| = \frac{|\beta^3|}{|\alpha^2|} = \frac{|\beta|^3}{|\alpha|^2} = \frac{4^3}{5^2} = \frac{64}{25}$

3. 最終的な答え

(1) $|\alpha^3| = 125$

(2) $|\alpha \beta^2| = 80$

(3) $|\frac{1}{\alpha \beta}| = \frac{1}{20}$

(4) $|\frac{\beta^3}{\alpha^2}| = \frac{64}{25}$