複素数 $z = 6 - 8i$ を、原点を中心として与えられた角度だけ回転させた点を表す複素数を求める問題です。回転角は (1) $\frac{\pi}{3}$, (2) $\frac{5\pi}{6}$, (3) $-\frac{\pi}{2}$, (4) $-\frac{\pi}{6}$ の4つです。

1. 問題の内容

複素数 $z = 6 - 8i$ を、原点を中心として与えられた角度だけ回転させた点を表す複素数を求める問題です。回転角は (1) $\frac{\pi}{3}$, (2) $\frac{5\pi}{6}$, (3) $-\frac{\pi}{2}$, (4) $-\frac{\pi}{6}$ の4つです。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を角 $\theta$ だけ原点を中心に回転させた複素数 $z'$ は、

$z' = z (\cos \theta + i \sin \theta)$

で与えられます。各回転角について $\cos \theta + i \sin \theta$ を計算し、$z = 6 - 8i$ と掛け合わせることで、回転後の複素数を求めます。

(1) $\theta = \frac{\pi}{3}$ の場合:

$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$

$z' = (6 - 8i) (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 3 + 3i\sqrt{3} - 4i - 4i^2\sqrt{3} = 3 + 4\sqrt{3} + (3\sqrt{3} - 4)i$

(2) $\theta = \frac{5\pi}{6}$ の場合:

$\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$

したがって、

$\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}$

$z' = (6 - 8i) (-\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}) = -3\sqrt{3} + 3i + 4i\sqrt{3} + 4 = 4 - 3\sqrt{3} + (3 + 4\sqrt{3})i$

(3) $\theta = -\frac{\pi}{2}$ の場合:

$\cos (-\frac{\pi}{2}) = 0$

$\sin (-\frac{\pi}{2}) = -1$

したがって、

$\cos (-\frac{\pi}{2}) + i \sin (-\frac{\pi}{2}) = -i$

$z' = (6 - 8i) (-i) = -6i + 8i^2 = -8 - 6i$

(4) $\theta = -\frac{\pi}{6}$ の場合:

$\cos (-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\cos (-\frac{\pi}{6}) + i \sin (-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - i \frac{1}{2}$

$z' = (6 - 8i) (\frac{\sqrt{3}}{2} - i \frac{1}{2}) = 3\sqrt{3} - 3i - 4i\sqrt{3} - 4 = 3\sqrt{3} - 4 + (-3 - 4\sqrt{3})i$

3. 最終的な答え

(1) $3 + 4\sqrt{3} + (3\sqrt{3} - 4)i$

(2) $4 - 3\sqrt{3} + (3 + 4\sqrt{3})i$

(3) $-8 - 6i$

(4) $3\sqrt{3} - 4 + (-3 - 4\sqrt{3})i$