次の式を展開する問題です。 (1) $(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$ (2) $(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1)$

1. 問題の内容

次の式を展開する問題です。

(1) $(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$

(2) $(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、最初の2つの括弧を展開します。これは、$A=x^2+y^2$ とおくと、$(A+xy)(A-xy)$ の形になり、$(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ の公式が使えます。

$$(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)=(x^2+y^2)^2-(xy)^2=x^4+2x^2y^2+y^4-x^2y^2=x^4+x^2y^2+y^4$$

次に、この結果と最後の括弧を展開します。

$$(x^4+x^2y^2+y^4)(x^4-x^2y^2+y^4)$$

これは、$C=x^4+y^4$ とおくと、$(C+x^2y^2)(C-x^2y^2)$ の形になり、再び $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ の公式が使えます。

$$(x^4+y^4)^2-(x^2y^2)^2=x^8+2x^4y^4+y^8-x^4y^4=x^8+x^4y^4+y^8$$

(2)

まず、$(x+y+1)(x+y-1)$ と $(x-y+1)(x-y-1)$ をそれぞれ展開します。

$(x+y+1)(x+y-1) = (x+y)^2 - 1^2 = x^2 + 2xy + y^2 - 1$

$(x-y+1)(x-y-1) = (x-y)^2 - 1^2 = x^2 - 2xy + y^2 - 1$

次に、これらの結果を展開します。

$(x^2+y^2-1+2xy)(x^2+y^2-1-2xy) = (x^2+y^2-1)^2 - (2xy)^2 = (x^2+y^2-1)^2 - 4x^2y^2$

ここで、$(x^2+y^2-1)^2 = (x^2+y^2)^2 - 2(x^2+y^2) + 1 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 - 2y^2 + 1$

したがって、

$x^4+2x^2y^2+y^4-2x^2-2y^2+1-4x^2y^2=x^4-2x^2y^2+y^4-2x^2-2y^2+1=(x^2-y^2)^2 - 2(x^2+y^2) + 1$

3. 最終的な答え

(1) $x^8+x^4y^4+y^8$

(2) $x^4-2x^2y^2+y^4-2x^2-2y^2+1$

または

$(x^2-y^2)^2-2x^2-2y^2+1$