与えられた式 $2(x+1)^4 + 2(x-1)^4 + 5(x^2-1)^2$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $2(x+1)^4 + 2(x-1)^4 + 5(x^2-1)^2$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^2-1 = (x+1)(x-1)$ であることを利用し、式を展開して整理する。

$2(x+1)^4 + 2(x-1)^4 + 5(x^2-1)^2 = 2(x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) + 2(x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) + 5(x^4 - 2x^2 + 1)$

$= 2x^4 + 8x^3 + 12x^2 + 8x + 2 + 2x^4 - 8x^3 + 12x^2 - 8x + 2 + 5x^4 - 10x^2 + 5$

$= (2+2+5)x^4 + (8-8)x^3 + (12+12-10)x^2 + (8-8)x + (2+2+5)$

$= 9x^4 + 14x^2 + 9$

次に、$x^2 = X$ とおくと、式は $9X^2 + 14X + 9$ となる。これを因数分解しようと試みるが、実数範囲では因数分解できない。

ここで、式を $9x^4 + 14x^2 + 9 = (3x^2 + ax + 3)(3x^2 + bx + 3)$ と置いて展開すると、

$9x^4 + (3b+3a)x^3 + (9+ab+9)x^2 + (3a+3b)x + 9$ となる。

係数を比較すると、

$3a + 3b = 0$ より $a = -b$

$18 + ab = 14$ より $ab = -4$

したがって、 $-a^2 = -4$ となり $a = \pm 2$。

$a = 2$ ならば $b = -2$ なので、

$9x^4 + 14x^2 + 9 = (3x^2 + 2x + 3)(3x^2 - 2x + 3)$

3. 最終的な答え

$(3x^2 + 2x + 3)(3x^2 - 2x + 3)$