与えられた式 $(x+1)(x+3)(x+4)(x+6)+8$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x+3)(x+4)(x+6)+8$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)(x+3)(x+4)(x+6)$ の部分を、定数項の和が等しくなるように組み合わせる。つまり、$(x+1)(x+6)$と$(x+3)(x+4)$を組み合わせる。

すると、

$(x+1)(x+6) = x^2+7x+6$

$(x+3)(x+4) = x^2+7x+12$

となる。ここで、$x^2+7x = X$とおくと、与式は

$(X+6)(X+12)+8 = X^2 + 18X + 72 + 8 = X^2 + 18X + 80$

となる。この$X$についての二次式を因数分解すると、

$X^2+18X+80 = (X+8)(X+10)$

となる。ここで、$X = x^2+7x$を代入すると、

$(x^2+7x+8)(x^2+7x+10)$

となる。さらに、$x^2+7x+10$は$(x+2)(x+5)$と因数分解できるので、

$(x^2+7x+8)(x+2)(x+5)$

となる。

3. 最終的な答え

$(x+2)(x+5)(x^2+7x+8)$