複素数$\alpha$, $\beta$について、$\lvert \alpha \rvert = 5$, $\lvert \beta \rvert = 4$ のとき、次の値を求める。 (1) $\lvert \alpha^3 \rvert$ (2) $\lvert \alpha \beta^2 \rvert$ (3) $\lvert \frac{1}{\alpha \beta} \rvert$ (4) $\lvert \frac{\beta^3}{\alpha^2} \rvert$

1. 問題の内容

複素数$\alpha$, $\beta$について、$\lvert \alpha \rvert = 5$, $\lvert \beta \rvert = 4$ のとき、次の値を求める。

(1) $\lvert \alpha^3 \rvert$

(2) $\lvert \alpha \beta^2 \rvert$

(3) $\lvert \frac{1}{\alpha \beta} \rvert$

(4) $\lvert \frac{\beta^3}{\alpha^2} \rvert$

2. 解き方の手順

複素数の絶対値の性質として、

$\lvert z_1 z_2 \rvert = \lvert z_1 \rvert \lvert z_2 \rvert$

$\lvert \frac{z_1}{z_2} \rvert = \frac{\lvert z_1 \rvert}{\lvert z_2 \rvert}$

$\lvert z^n \rvert = \lvert z \rvert^n$

が成り立つことを利用する。

(1)

$\lvert \alpha^3 \rvert = \lvert \alpha \rvert^3 = 5^3 = 125$

(2)

$\lvert \alpha \beta^2 \rvert = \lvert \alpha \rvert \lvert \beta^2 \rvert = \lvert \alpha \rvert \lvert \beta \rvert^2 = 5 \cdot 4^2 = 5 \cdot 16 = 80$

(3)

$\lvert \frac{1}{\alpha \beta} \rvert = \frac{\lvert 1 \rvert}{\lvert \alpha \beta \rvert} = \frac{1}{\lvert \alpha \rvert \lvert \beta \rvert} = \frac{1}{5 \cdot 4} = \frac{1}{20}$

(4)

$\lvert \frac{\beta^3}{\alpha^2} \rvert = \frac{\lvert \beta^3 \rvert}{\lvert \alpha^2 \rvert} = \frac{\lvert \beta \rvert^3}{\lvert \alpha \rvert^2} = \frac{4^3}{5^2} = \frac{64}{25}$

3. 最終的な答え

(1) $\lvert \alpha^3 \rvert = 125$

(2) $\lvert \alpha \beta^2 \rvert = 80$

(3) $\lvert \frac{1}{\alpha \beta} \rvert = \frac{1}{20}$

(4) $\lvert \frac{\beta^3}{\alpha^2} \rvert = \frac{64}{25}$