与えられた式 $2x^2 + 3xy - 2y^2 - 5x - 5y + 3$ を因数分解する問題です。ただし、写真にある補助的な計算 A, B の値を利用することを想定します。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 3xy - 2y^2 - 5x - 5y + 3$ を因数分解する問題です。ただし、写真にある補助的な計算 A, B の値を利用することを想定します。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、以下の手順で進めます。

まず、与えられた式を $Ax + By + C$ の形を持つ2つの一次式の積の形に因数分解できると仮定します。つまり、

$2x^2 + 3xy - 2y^2 - 5x - 5y + 3 = (2x + Ay + D)(x + By + E)$

と仮定します。展開すると、

$2x^2 + (2B+A)xy + ABy^2 + (2E+D)x + (AE+BD)y + DE$

となります。与えられた式と比較して、

$2B + A = 3$

$AB = -2$

$2E+D = -5$

$AE+BD = -5$

$DE = 3$

写真には、$AB = -12$と記載がありますが、これは誤りです。$2x^2+3xy-2y^2$ の部分から $AB = -2$ となります。

写真にある $2(-5-A) + 3A = -6$ という式を利用することを考えます。

$2(-5-A) + 3A = -10 - 2A + 3A = A - 10 = -6$

したがって、$A = 4$ が得られます。

$AB = -2$より、$4B = -2$ なので $B = -\frac{1}{2}$ です。

$2B + A = 2(-\frac{1}{2}) + 4 = -1+4 = 3$

となり、矛盾はありません。

次に、$2E + D = -5$と$AE + BD = -5$ および $DE = 3$を解きます。

$A=4, B=-\frac{1}{2}$ より、

$4E - \frac{1}{2} D = -5$ と $2E + D = -5$

$D = -5 - 2E$を$4E - \frac{1}{2} D = -5$ に代入して、

$4E - \frac{1}{2}(-5 - 2E) = -5$

$4E + \frac{5}{2} + E = -5$

$5E = -5 - \frac{5}{2} = -\frac{15}{2}$

$E = -\frac{3}{2}$

したがって、$D = -5 - 2(-\frac{3}{2}) = -5 + 3 = -2$

$DE = (-2)(-\frac{3}{2}) = 3$ となり条件を満たします。

したがって、

$(2x + 4y - 2)(x - \frac{1}{2}y - \frac{3}{2}) = 2(x + 2y - 1)\frac{1}{2}(2x - y - 3) = (x + 2y - 1)(2x - y - 3)$

よって、$2x^2 + 3xy - 2y^2 - 5x - 5y + 3 = (x + 2y - 1)(2x - y - 3)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x + 2y - 1)(2x - y - 3)$