与えられた式 $6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の二次式部分を因数分解します。

$6x^2 - 7xy + 2y^2 = (2x - y)(3x - 2y)$

次に、与えられた式全体が$(2x - y + a)(3x - 2y + b)$の形になると仮定して、定数$a$と$b$を求めます。

$(2x - y + a)(3x - 2y + b) = 6x^2 - 4xy + 2bx - 3xy + 2y^2 - by + 3ax - 2ay + ab = 6x^2 - 7xy + 2y^2 + (2b + 3a)x + (-b - 2a)y + ab$

与えられた式と比較すると、次の連立方程式が得られます。

$2b + 3a = -6$

$-b - 2a = 5$

$ab = -12$

2つ目の式を2倍すると、$-2b - 4a = 10$となります。

1つ目の式と足し合わせると、$-a = 4$となるので、$a = -4$です。

これを2つ目の式に代入すると、$-b + 8 = 5$となるので、$b = 3$です。

$ab = (-4)(3) = -12$なので、条件を満たします。

したがって、与えられた式は$(2x - y - 4)(3x - 2y + 3)$と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(2x - y - 4)(3x - 2y + 3)$