右の図において、直線 $y = \frac{1}{2}x$ のグラフと反比例 $y = \frac{a}{x}$ のグラフがある。点Aはこの2つのグラフの交点で、$x$座標は6である。また、点Bは曲線 $y = \frac{a}{x}$ 上の点で、$y$座標は3である。このとき、次の問いに答えなさい。ただし、座標軸の1目もりを1cmとする。 (1) $a$ の値を求めなさい。 (2) $\triangle AOB$ の面積を求めなさい。 (3) 点Aを通り $y$ 軸に平行な直線と線分OBとの交点をPとする。このとき、$\triangle APB$ の面積を求めなさい。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

右の図において、直線 $y = \frac{1}{2}x$ のグラフと反比例 $y = \frac{a}{x}$ のグラフがある。点Aはこの2つのグラフの交点で、$x$座標は6である。また、点Bは曲線 $y = \frac{a}{x}$ 上の点で、$y$座標は3である。このとき、次の問いに答えなさい。ただし、座標軸の1目もりを1cmとする。

(1) $a$ の値を求めなさい。

(2) $\triangle AOB$ の面積を求めなさい。

(3) 点Aを通り $y$ 軸に平行な直線と線分OBとの交点をPとする。このとき、$\triangle APB$ の面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の値を求める。

点Aは、$y = \frac{1}{2}x$ 上にあり、$x$座標が6であるので、点Aの$y$座標は、$y = \frac{1}{2} \times 6 = 3$ である。

点Aは、$y = \frac{a}{x}$ 上にもあるので、$3 = \frac{a}{6}$ が成り立つ。よって、$a = 3 \times 6 = 18$。

(2) $\triangle AOB$ の面積を求める。

点Bは、$y = \frac{18}{x}$ 上にあり、$y$座標が3であるので、$3 = \frac{18}{x}$ が成り立つ。よって、$x = \frac{18}{3} = 6$。したがって点Bの座標は(6, 3)である。点Aの座標は(6, 3)である。

これは問題文より誤り。点Aの $x$ 座標は 6, 点Bの $y$ 座標は 3 であることは正しい。

点Aは、$y = \frac{1}{2}x$ 上の点なので、$y = \frac{1}{2} \times 6 = 3$ より、点Aの座標は(6, 3)。

点Bは、$y = \frac{18}{x}$ 上の点なので、$3 = \frac{18}{x}$ より、$x = 6$。点Bの座標は (6, 3)。

直線OBの式を $y = mx$ とおく。B(6, 3)を通るので、$3 = 6m$ より、$m = \frac{1}{2}$。したがって直線OBの式は $y = \frac{1}{2}x$。

$\triangle AOB$ の面積は、点Aから $x$ 軸に下ろした垂線の足をCとすると、$\triangle OAC - \triangle OBC$ で求められる。

$\triangle OAC = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$。

点Bの座標を求める。$y=3$を$y = \frac{18}{x}$に代入すると、$3 = \frac{18}{x}$ より $x = 6$。 よって、B(6, 3)。

$\triangle AOB$ の面積は、原点O, A(6, 3), B(6, 3) を頂点とする三角形の面積。座標から $\triangle AOB$ の面積を求める公式はないので、工夫する必要がある。

点Bの $y$ 座標が3であるから、$3 = \frac{18}{x}$ を解いて $x = 6$ より、B(6, 3) 。

直線ABは $y = 3$。

$y = \frac{1}{2} x$ と $y = \frac{18}{x}$ の交点Aの $x$ 座標は 6 より、A (6, 3)。

(2) 再考

Bの $y$ 座標が3より $3 = \frac{18}{x}$ よって $x=6$、すなわちB (6, 3)。 直線OBは $y=\frac{1}{2}x$となる。点AとBが同じ点になっているので問題文の図がおかしい。

しかし、問題文を信じて解く。

A(6, 3) から $x$軸に垂線を下ろし、その足をDとする。

$\triangle OAD = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$

$y = \frac{1}{2} x$ と $y = \frac{18}{x}$ の交点は $(6, 3)$ と $(-6, -3)$

$B(x, 3)$ とすると、$3 = \frac{18}{x}$ より $x = 6$ なので $B (6, 3)$。

線分ABは $y = 3$ なので、線分ABの長さは0。したがって、$\triangle AOB$ の面積は0。

(3) $\triangle APB$ の面積を求める。

Aから $y$軸に平行な直線は $x = 6$ である。 $y = \frac{1}{2}x$ と $x = 6$ の交点は $(6, 3)$ である。点Aは $(6, 3)$ なので、PはAと一致する。

したがって、$\triangle APB$ の面積は0。

3. 最終的な答え

(1) $a = 18$

(2) $\triangle AOB$ の面積は 0

(3) $\triangle APB$ の面積は 0