2次方程式 $x^2 - 3x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $\alpha^3 + \beta^3$ (3) $\alpha\beta^2 + \alpha^2\beta$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 3x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $\alpha^3 + \beta^3$

(3) $\alpha\beta^2 + \alpha^2\beta$

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 3$

$\alpha\beta = 4$

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ について

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$

なので、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha^2 + \beta^2 = (3)^2 - 2(4)$

$\alpha^2 + \beta^2 = 9 - 8 = 1$

(2) $\alpha^3 + \beta^3$ について

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta)$

$\alpha^3 + \beta^3 = (3)((3)^2 - 3(4))$

$\alpha^3 + \beta^3 = (3)(9 - 12)$

$\alpha^3 + \beta^3 = (3)(-3) = -9$

(3) $\alpha\beta^2 + \alpha^2\beta$ について

$\alpha\beta^2 + \alpha^2\beta = \alpha\beta(\beta + \alpha)$

$\alpha\beta^2 + \alpha^2\beta = (\alpha\beta)(\alpha + \beta)$

$\alpha\beta^2 + \alpha^2\beta = (4)(3) = 12$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = 1$

(2) $\alpha^3 + \beta^3 = -9$

(3) $\alpha\beta^2 + \alpha^2\beta = 12$