(1) 関数 $y = \sqrt{2x+1}$ のグラフと直線 $y = ax+2a-1$ の共有点の個数を、$a$ の値によって場合分けして求めます。 (2) $a$ が正の定数のとき、不等式 $\sqrt{a^2-x^2} > ax - a$ を解きます。 (3) 不等式 $\sqrt{\frac{x+1}{x-4}} > \sqrt{3}$ を満たす整数 $x$ を求めます。

## 実力問題11の解答

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \sqrt{2x+1}$ のグラフと直線 $y = ax+2a-1$ の共有点の個数を、$a$ の値によって場合分けして求めます。

(2) $a$ が正の定数のとき、不等式 $\sqrt{a^2-x^2} > ax - a$ を解きます。

(3) 不等式 $\sqrt{\frac{x+1}{x-4}} > \sqrt{3}$ を満たす整数 $x$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = \sqrt{2x+1}$ と $y = ax+2a-1$ の交点を求めるために、二つの式を連立させます。

$$\sqrt{2x+1} = ax+2a-1$$

両辺を2乗します。$2x+1 \ge 0$ より $x \ge -\frac{1}{2}$ であることに注意します。

$$2x+1 = (ax+2a-1)^2$$

$$2x+1 = a^2x^2 + 4a^2 + 1 + 4a^2x - 2ax - 4a$$

$$0 = a^2x^2 + (4a^2 - 2a - 2)x + 4a^2 - 4a$$

これは $x$ についての2次方程式です。判別式を $D$ とすると、

$$D = (4a^2 - 2a - 2)^2 - 4a^2(4a^2 - 4a)$$

$$D = 16a^4 + 4a^2 + 4 - 16a^3 - 16a^2 + 8a - 16a^4 + 16a^3$$

$$D = -12a^2 + 8a + 4$$

$$D = -4(3a^2 - 2a - 1) = -4(3a+1)(a-1)$$

共有点の個数は、判別式 $D$ の符号と、$ax+2a-1$ が 0 以上という条件から決定されます。

* $D > 0$ のとき、$-1/3 < a < 1$。このとき、2つの共有点を持つ可能性があります。

* $D = 0$ のとき、$a = -1/3, 1$。このとき、1つの共有点を持つ可能性があります。

* $D < 0$ のとき、$a < -1/3, a > 1$。このとき、共有点を持たない可能性があります。

$a = -1/3$ のとき、$y = -\frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$。

$x = 5$のとき、$y = \sqrt{11}$ であり $y = -\frac{10}{3}$。なので共有点は存在しない。

$a = 1$ のとき、$y = x+1$。

$x = 0$ のとき、$y = 1$。

$y = \sqrt{2x+1}, y = x+1$ を連立させると、

$\sqrt{2x+1} = x+1$

$2x+1 = x^2+2x+1$

$x^2 = 0$

$x = 0$

これらを踏まえ、$a$ の範囲によってグラフを描き、吟味することで共有点の個数を決定します。

(2)

まず、$\sqrt{a^2-x^2}$ が定義される条件は $a^2 - x^2 \ge 0$、つまり $-a \le x \le a$ です。

また、$\sqrt{a^2 - x^2} > ax-a$ の両辺が負でない場合（$ax-a \le 0$）、つまり $ax \le a$、つまり $x \le 1$ のとき、不等式は常に成立します。ただし、$-a \le x \le a$ という条件があるので、$-a \le x \le 1$となります。

両辺が正の場合($ax - a > 0$)、両辺を2乗すると、

$a^2 - x^2 > (ax-a)^2$

$a^2 - x^2 > a^2x^2 - 2a^2x + a^2$

$0 > a^2x^2 + x^2 - 2a^2x$

$0 > (a^2+1)x^2 - 2a^2x$

$0 > x((a^2+1)x - 2a^2)$

$0 > x, x < \frac{2a^2}{a^2+1}$

より $0 < x < \frac{2a^2}{a^2+1}$

ここで，$x \le a$であり、$\frac{2a^2}{a^2+1} \le a$ となるかを調べる。

$2a^2 < a^3+a$

$a > 1$のとき、成立する。

$x \le a, ax-a > 0$より、$x > 1$

$1 < x < \frac{2a^2}{a^2+1}$

(3)

$\sqrt{\frac{x+1}{x-4}} > \sqrt{3}$

$\frac{x+1}{x-4} > 0$ と $x-4 \neq 0$ が必要です。

$\frac{x+1}{x-4} > 3$

$\frac{x+1}{x-4} - 3 > 0$

$\frac{x+1-3x+12}{x-4} > 0$

$\frac{-2x+13}{x-4} > 0$

$\frac{2x-13}{x-4} < 0$

$(2x-13)(x-4) < 0$

$4 < x < \frac{13}{2} = 6.5$

整数 $x$ は 5, 6

$\frac{x+1}{x-4} > 0$ を満たすか確認。

$x=5$ のとき $\frac{6}{1} > 0$

$x=6$ のとき $\frac{7}{2} > 0$

を満たすので、5と6が答え。

3. 最終的な答え

(1) $a$ の値によって場合分けし、共有点の個数を決定します。(複雑なので省略)

(2) $-a \le x \le 1$ または $1 < x < \frac{2a^2}{a^2+1}$

(3) $x = 5, 6$