次の7つの不等式を解きます。 (1) $(x - 1)(x-2)(x + 3) > 0$ (2) $(x^2-1)(x^2 - 4) \ge 0$ (3) $x^3 \le x$ (4) $(x-1)(x^2 + 1) < 0$ (5) $x^3- 2x^2-x+2 > 0$ (6) $x^3 - 4x^2 - x +4 \le 0$ (7) $x^4 - 9x^3 + 21x^2 + x - 30 > 0$

はい、承知いたしました。与えられた不等式を解きます。

1. 問題の内容

次の7つの不等式を解きます。

(1) $(x - 1)(x-2)(x + 3) > 0$

(2) $(x^2-1)(x^2 - 4) \ge 0$

(3) $x^3 \le x$

(4) $(x-1)(x^2 + 1) < 0$

(5) $x^3- 2x^2-x+2 > 0$

(6) $x^3 - 4x^2 - x +4 \le 0$

(7) $x^4 - 9x^3 + 21x^2 + x - 30 > 0$

2. 解き方の手順

(1) $(x - 1)(x-2)(x + 3) > 0$

$x = -3, 1, 2$ で符号が変わるので、数直線を書いて符号を調べます。

$x < -3$ のとき、負 * 負 * 負 = 負

$-3 < x < 1$ のとき、負 * 負 * 正 = 正

$1 < x < 2$ のとき、正 * 負 * 正 = 負

$2 < x$ のとき、正 * 正 * 正 = 正

よって、$x$ は $-3 < x < 1$ または $2 < x$

(2) $(x^2-1)(x^2 - 4) \ge 0$

$(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) \ge 0$

$x = -2, -1, 1, 2$ で符号が変わるので、数直線を書いて符号を調べます。

$x < -2$ のとき、負 * 負 * 負 * 負 = 正

$-2 < x < -1$ のとき、負 * 負 * 負 * 正 = 負

$-1 < x < 1$ のとき、負 * 正 * 負 * 正 = 正

$1 < x < 2$ のとき、正 * 正 * 負 * 正 = 負

$2 < x$ のとき、正 * 正 * 正 * 正 = 正

よって、$x \le -2$ または $-1 \le x \le 1$ または $2 \le x$

(3) $x^3 \le x$

$x^3 - x \le 0$

$x(x^2 - 1) \le 0$

$x(x - 1)(x + 1) \le 0$

$x = -1, 0, 1$ で符号が変わるので、数直線を書いて符号を調べます。

$x < -1$ のとき、負 * 負 * 負 = 負

$-1 < x < 0$ のとき、負 * 負 * 正 = 正

$0 < x < 1$ のとき、正 * 負 * 正 = 負

$1 < x$ のとき、正 * 正 * 正 = 正

よって、$x \le -1$ または $0 \le x \le 1$

(4) $(x-1)(x^2 + 1) < 0$

$x^2 + 1$ は常に正なので、$x - 1 < 0$ であれば良い。

よって、$x < 1$

(5) $x^3- 2x^2-x+2 > 0$

$x^2(x - 2) - (x - 2) > 0$

$(x^2 - 1)(x - 2) > 0$

$(x - 1)(x + 1)(x - 2) > 0$

$x = -1, 1, 2$ で符号が変わるので、数直線を書いて符号を調べます。

$x < -1$ のとき、負 * 負 * 負 = 負

$-1 < x < 1$ のとき、負 * 正 * 負 = 正

$1 < x < 2$ のとき、正 * 正 * 負 = 負

$2 < x$ のとき、正 * 正 * 正 = 正

よって、$-1 < x < 1$ または $2 < x$

(6) $x^3 - 4x^2 - x +4 \le 0$

$x^2(x - 4) - (x - 4) \le 0$

$(x^2 - 1)(x - 4) \le 0$

$(x - 1)(x + 1)(x - 4) \le 0$

$x = -1, 1, 4$ で符号が変わるので、数直線を書いて符号を調べます。

$x < -1$ のとき、負 * 負 * 負 = 負

$-1 < x < 1$ のとき、負 * 正 * 負 = 正

$1 < x < 4$ のとき、正 * 正 * 負 = 負

$4 < x$ のとき、正 * 正 * 正 = 正

よって、$x \le -1$ または $1 \le x \le 4$

(7) $x^4 - 9x^3 + 21x^2 + x - 30 > 0$

$x = 2$ を代入すると、 $16 - 72 + 84 + 2 - 30 = 0$

$x = 3$ を代入すると、 $81 - 243 + 189 + 3 - 30 = 0$

$(x - 2)(x - 3)(x^2 - 4x - 5) > 0$

$(x - 2)(x - 3)(x - 5)(x + 1) > 0$

$x = -1, 2, 3, 5$ で符号が変わるので、数直線を書いて符号を調べます。

$x < -1$ のとき、負 * 負 * 負 * 負 = 正

$-1 < x < 2$ のとき、正 * 負 * 負 * 負 = 負

$2 < x < 3$ のとき、正 * 正 * 負 * 負 = 正

$3 < x < 5$ のとき、正 * 正 * 正 * 負 = 負

$5 < x$ のとき、正 * 正 * 正 * 正 = 正

よって、$x < -1$ または $2 < x < 3$ または $5 < x$

3. 最終的な答え

(1) $-3 < x < 1$ または $2 < x$

(2) $x \le -2$ または $-1 \le x \le 1$ または $2 \le x$

(3) $x \le -1$ または $0 \le x \le 1$

(4) $x < 1$

(5) $-1 < x < 1$ または $2 < x$

(6) $x \le -1$ または $1 \le x \le 4$

(7) $x < -1$ または $2 < x < 3$ または $5 < x$