与えられた2つの二次関数について、それぞれの頂点の座標、x軸との交点、y軸との交点を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2つの二次関数について、それぞれの頂点の座標、x軸との交点、y軸との交点を求める問題です。

2. 解き方の手順

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1. $y=x^2+4x-1$の場合**

* **頂点の座標**:

平方完成を行います。

$y = x^2 + 4x - 1 = (x^2 + 4x + 4) - 4 - 1 = (x+2)^2 - 5$

よって、頂点の座標は $(-2, -5)$です。

* **x軸との交点**:

$y=0$とおいて、$x$を求めます。

$x^2 + 4x - 1 = 0$

解の公式を用いて、

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$

よって、x軸との交点は $(-2+\sqrt{5}, 0)$と $(-2-\sqrt{5}, 0)$です。

* **y軸との交点**:

$x=0$とおいて、$y$を求めます。

$y = 0^2 + 4(0) - 1 = -1$

よって、y軸との交点は $(0, -1)$です。

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2. $y=-x^2-2x-2$の場合**

* **頂点の座標**:

平方完成を行います。

$y = -x^2 - 2x - 2 = -(x^2 + 2x) - 2 = -(x^2 + 2x + 1) + 1 - 2 = -(x+1)^2 - 1$

よって、頂点の座標は $(-1, -1)$です。

* **x軸との交点**:

$y=0$とおいて、$x$を求めます。

$-x^2 - 2x - 2 = 0$

$x^2 + 2x + 2 = 0$

解の公式を用いて、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2}$

根号の中が負になるため、実数解はありません。したがって、x軸との交点はありません。

* **y軸との交点**:

$x=0$とおいて、$y$を求めます。

$y = -0^2 - 2(0) - 2 = -2$

よって、y軸との交点は $(0, -2)$です。

3. 最終的な答え

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1. $y=x^2+4x-1$の場合**

* 頂点の座標: $(-2, -5)$

* x軸との交点: $(-2+\sqrt{5}, 0)$, $(-2-\sqrt{5}, 0)$

* y軸との交点: $(0, -1)$

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2. $y=-x^2-2x-2$の場合**

* 頂点の座標: $(-1, -1)$

* x軸との交点: なし

* y軸との交点: $(0, -2)$