$x > 0$ のとき、次の不等式を証明し、等号が成り立つのはどのような時か？ (1) $4x + \frac{1}{x} \geq 4$ (2) $(4x + \frac{1}{x})(x + \frac{1}{4x}) \geq \frac{49}{4}$ を証明しろ。また、等号が成り立つのはどのような時か？

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、次の不等式を証明し、等号が成り立つのはどのような時か？

(1) $4x + \frac{1}{x} \geq 4$

(2) $(4x + \frac{1}{x})(x + \frac{1}{4x}) \geq \frac{49}{4}$ を証明しろ。また、等号が成り立つのはどのような時か？

2. 解き方の手順

(1) 相加相乗平均の関係を用いる。$a, b > 0$ のとき $a+b \geq 2\sqrt{ab}$ が成り立ち、等号成立は $a = b$ の時である。

$4x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{4x \cdot \frac{1}{x}} = 2\sqrt{4} = 4$

等号成立は $4x = \frac{1}{x}$ の時、つまり $4x^2 = 1$, $x^2 = \frac{1}{4}$, $x = \pm \frac{1}{2}$

$x > 0$ より $x = \frac{1}{2}$

(2) $(4x + \frac{1}{x})(x + \frac{1}{4x}) = 4x^2 + 1 + 1 + \frac{1}{4x^2} = 4x^2 + \frac{1}{4x^2} + 2$

ここで $4x^2 + \frac{1}{4x^2}$ に相加相乗平均の関係を用いると、

$4x^2 + \frac{1}{4x^2} \geq 2\sqrt{4x^2 \cdot \frac{1}{4x^2}} = 2$

よって $(4x + \frac{1}{x})(x + \frac{1}{4x}) \geq 2 + 2 = 4$

これは $\frac{49}{4}$ ではない。元の問題がおかしい。

与えられた不等式を証明する。

$(4x+\frac{1}{x})(x+\frac{1}{4x}) = 4x^2 + 1 + 1 + \frac{1}{4x^2} = 4x^2 + \frac{1}{4x^2} + 2$

ここで相加相乗平均の関係より $4x+\frac{1}{x} \geq 2\sqrt{4x\cdot\frac{1}{x}} = 4$

$x+\frac{1}{4x} \geq 2\sqrt{x\cdot\frac{1}{4x}} = 2\sqrt{\frac{1}{4}} = 1$

したがって$(4x+\frac{1}{x})(x+\frac{1}{4x}) \geq 4 \cdot 1 = 4$ では証明にならない。

$4x^2 + \frac{1}{4x^2} + 2 \geq \frac{49}{4}$ を証明する。

$4x^2 + \frac{1}{4x^2} \geq \frac{49}{4} - 2 = \frac{41}{4}$

相加相乗平均の関係より、 $4x^2 + \frac{1}{4x^2} \geq 2\sqrt{4x^2 \cdot \frac{1}{4x^2}} = 2$ なので、このままでは証明できない。

しかし、

$(4x + \frac{1}{x})(x + \frac{1}{4x}) = 4x^2 + 2 + \frac{1}{4x^2}$

ここで $4x^2 + \frac{1}{4x^2} + 2 \geq 2 + 2 = 4$

等号成立は $4x^2 = \frac{1}{4x^2}$ つまり、$16x^4 = 1$, $x^4 = \frac{1}{16}$, $x^2 = \frac{1}{4}$, $x = \pm \frac{1}{2}$

$x > 0$ より $x = \frac{1}{2}$ のときである。

3. 最終的な答え

(1) $4x + \frac{1}{x} \geq 4$ であり、等号成立は $x = \frac{1}{2}$ の時。

(2) $(4x + \frac{1}{x})(x + \frac{1}{4x}) \geq \frac{49}{4}$ は誤り。正しくは$(4x + \frac{1}{x})(x + \frac{1}{4x}) \geq 4$ であり、等号成立は $x = \frac{1}{2}$ の時。

もし $(4x + \frac{1}{x})(x + \frac{9}{x}) \geq 49$ なら、 $(4x+\frac{1}{x})(x+\frac{9}{4x})=4x^2+9+1+\frac{9}{4x^2} = 4x^2+\frac{9}{4x^2}+10 \geq 2\sqrt{4x^2\cdot \frac{9}{4x^2}}+10 = 2\cdot3+10=16$なので証明できない。