与えられた3つの方程式を解く問題です。 (1) $\log_5 x = 3$ (2) $\log_2 (x-3) = 4$ (3) $\log_2 x + \log_2 (3-x) = 1$

1. 問題の内容

与えられた3つの方程式を解く問題です。

(1) $\log_5 x = 3$

(2) $\log_2 (x-3) = 4$

(3) $\log_2 x + \log_2 (3-x) = 1$

2. 解き方の手順

(1) 対数の定義から、$x = 5^3$ となります。

したがって、$x = 125$ です。

(2) 対数の定義から、$x-3 = 2^4$ となります。

したがって、$x - 3 = 16$。

$x = 16 + 3$

$x = 19$ です。

(3) 対数の性質を用いて、$\log_2 x + \log_2 (3-x) = \log_2 (x(3-x))$ と変形できます。

したがって、$\log_2 (x(3-x)) = 1$。

対数の定義から、$x(3-x) = 2^1 = 2$ となります。

$3x - x^2 = 2$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x-1)(x-2) = 0$

$x = 1$ または $x = 2$

ここで、$x$ および $3-x$ は真数であるため、$x>0$ かつ $3-x>0$ が必要です。

$x>0$ かつ $x<3$ である必要があります。

$x=1$ および $x=2$ は両方ともこの条件を満たすため、どちらも解となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = 125$

(2) $x = 19$

(3) $x = 1, 2$