放物線と直線が交わる点で作られる三角形の面積を求める問題です。放物線 $y = x^2 + 2$ と直線 $y = -x + 2$ の交点を A, B とし、それぞれの $x$ 座標を $\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$) とします。三角形 OAB の面積を $\alpha$ と $\beta$ を用いて表し、その面積を最大にする条件を求めます。

1. 問題の内容

放物線と直線が交わる点で作られる三角形の面積を求める問題です。放物線 $y = x^2 + 2$ と直線 $y = -x + 2$ の交点を A, B とし、それぞれの $x$ 座標を $\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$) とします。三角形 OAB の面積を $\alpha$ と $\beta$ を用いて表し、その面積を最大にする条件を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\alpha$ と $\beta$ を求めます。$x^2+2 = -x+2$ を解くと、

$x^2 + x = 0$

$x(x+1) = 0$

よって $\alpha = -1$, $\beta = 0$ となります。

次に、三角形 OAB の面積を計算します。三角形 OAB の面積は、三角形 OAC の面積と三角形 OBC の面積の和で計算できます。

直線 $y = -x + 2$ と $y$ 軸の交点 C は $(0, 2)$ です。

三角形 OAC の面積は $\frac{1}{2} \times OC \times |\alpha| = \frac{1}{2} \times 2 \times |-1| = 1$

三角形 OBC の面積は $\frac{1}{2} \times OC \times |\beta| = \frac{1}{2} \times 2 \times |0| = 0$

したがって、三角形 OAB の面積は $1+0 = 1$ です。

次に、一般の場合を考えます。放物線 $y = f(x)$ と直線 $y = g(x)$ の交点の $x$ 座標を $\alpha$, $\beta$ とし、放物線と直線上の点 C, D の $x$ 座標を $\gamma$ とします。

このとき、三角形 ABC の面積は (線分 CD の長さ) × カ となります。カ に入るのは線分 AB の $x$ 軸への射影の半分の長さであるため、$\frac{1}{2}|\beta - \alpha|$です。

放物線と直線の式から $p(x) = f(x) - g(x) = (x - \alpha)(x - \beta)$ となることがわかります。

三角形 ABC の面積は $\frac{1}{2} |(\gamma - \alpha)(\beta - \gamma)(\beta - \alpha)|$ となります。

$\alpha = x-2, \beta = x-1$ のとき、

三角形 ABC の面積は $\frac{1}{2} |(1)(1)(1)| = \frac{1}{2}$ で面積が$\frac{1}{2}$で一定であるため、

最大面積を与える $\gamma$ は存在しないです。

3. 最終的な答え

ア：1

イウ：-1

エ：0

オ：1

カ：$\frac{1}{2}(\beta - \alpha)$

キ：$p(x) = (x-\alpha)(x-\beta)$

ク：$\frac{1}{2}|(\beta - \gamma)(\gamma - \alpha)(\beta - \alpha)|$

ケ：$x-2$

コ：$x-1$

サ：$x-1$

シス：$\frac{1}{2}$

セ：0

ソ：1

タ：1

チ：1

ツテ：ない