(1) 次の2数を解とする2次方程式を1つ作る。 (ア) $3, -5$ (イ) $2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$ (ウ) $3 + 4i, 3 - 4i$ (2) 和と積が次のようになる2数を求める。 (ア) 和が7、積が3 (イ) 和が-1, 積が1

1. 問題の内容

(1) 次の2数を解とする2次方程式を1つ作る。

(ア) $3, -5$

(イ) $2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

(ウ) $3 + 4i, 3 - 4i$

(2) 和と積が次のようになる2数を求める。

(ア) 和が7、積が3

(イ) 和が-1, 積が1

2. 解き方の手順

(1) 2つの解 $\alpha, \beta$ を持つ2次方程式は $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ と表せる。

(ア) $\alpha = 3, \beta = -5$ のとき、

$\alpha + \beta = 3 + (-5) = -2$

$\alpha\beta = 3 \times (-5) = -15$

よって、2次方程式は $x^2 - (-2)x + (-15) = 0$

すなわち $x^2 + 2x - 15 = 0$

(イ) $\alpha = 2 + \sqrt{5}, \beta = 2 - \sqrt{5}$ のとき、

$\alpha + \beta = (2 + \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5}) = 4$

$\alpha\beta = (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1$

よって、2次方程式は $x^2 - 4x - 1 = 0$

(ウ) $\alpha = 3 + 4i, \beta = 3 - 4i$ のとき、

$\alpha + \beta = (3 + 4i) + (3 - 4i) = 6$

$\alpha\beta = (3 + 4i)(3 - 4i) = 3^2 - (4i)^2 = 9 - 16i^2 = 9 - 16(-1) = 9 + 16 = 25$

よって、2次方程式は $x^2 - 6x + 25 = 0$

(2) 2数の和を $S$, 積を $P$ とすると、この2数を解とする2次方程式は $t^2 - St + P = 0$ と表せる。

(ア) $S = 7, P = 3$ のとき、

$t^2 - 7t + 3 = 0$

解の公式より、

$t = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 12}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{37}}{2}$

よって、2数は $\frac{7 + \sqrt{37}}{2}$ と $\frac{7 - \sqrt{37}}{2}$

(イ) $S = -1, P = 1$ のとき、

$t^2 - (-1)t + 1 = 0$

$t^2 + t + 1 = 0$

解の公式より、

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

よって、2数は $\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ と $\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

(ア) $x^2 + 2x - 15 = 0$

(イ) $x^2 - 4x - 1 = 0$

(ウ) $x^2 - 6x + 25 = 0$

(2)

(ア) $\frac{7 + \sqrt{37}}{2}, \frac{7 - \sqrt{37}}{2}$

(イ) $\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$