与えられた二つの不等式が成立することを証明し、等号が成り立つ場合の条件を求めます。 (1) $2(x^2+1) \geq (x+1)^2$ (2) $2(x^2+y^2) \geq (x+y)^2$

1. 問題の内容

与えられた二つの不等式が成立することを証明し、等号が成り立つ場合の条件を求めます。

(1) $2(x^2+1) \geq (x+1)^2$

(2) $2(x^2+y^2) \geq (x+y)^2$

2. 解き方の手順

(1) $2(x^2+1) \geq (x+1)^2$ の証明

まず、不等式の右辺を展開します。

$2(x^2 + 1) \geq x^2 + 2x + 1$

次に、すべての項を左辺に移項します。

$2x^2 + 2 - x^2 - 2x - 1 \geq 0$

整理すると、

$x^2 - 2x + 1 \geq 0$

左辺は $(x-1)^2$ と因数分解できます。

$(x-1)^2 \geq 0$

$(x-1)^2$ は常に0以上であるため、この不等式は常に成立します。

等号が成り立つのは、$x-1=0$、すなわち$x=1$のときです。

(2) $2(x^2+y^2) \geq (x+y)^2$ の証明

まず、不等式の右辺を展開します。

$2(x^2 + y^2) \geq x^2 + 2xy + y^2$

次に、すべての項を左辺に移項します。

$2x^2 + 2y^2 - x^2 - 2xy - y^2 \geq 0$

整理すると、

$x^2 - 2xy + y^2 \geq 0$

左辺は $(x-y)^2$ と因数分解できます。

$(x-y)^2 \geq 0$

$(x-y)^2$ は常に0以上であるため、この不等式は常に成立します。

等号が成り立つのは、$x-y=0$、すなわち$x=y$のときです。

3. 最終的な答え

(1) 不等式 $2(x^2+1) \geq (x+1)^2$ は常に成立し、等号成立条件は $x=1$ です。

(2) 不等式 $2(x^2+y^2) \geq (x+y)^2$ は常に成立し、等号成立条件は $x=y$ です。