複素数 $z$ に関する二次方程式 $z^2 + 2z + i = 0$ を解きます。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する二次方程式 $z^2 + 2z + i = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

二次方程式 $z^2 + 2z + i = 0$ を解くために、解の公式を使用します。

解の公式は、二次方程式 $az^2 + bz + c = 0$ の解が $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えられるというものです。

この問題の場合、$a = 1$、$b = 2$、$c = i$ なので、解の公式に代入すると、

$z = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(i)}}{2(1)}$

$z = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4i}}{2}$

$z = \frac{-2 \pm 2\sqrt{1 - i}}{2}$

$z = -1 \pm \sqrt{1 - i}$

次に、$\sqrt{1 - i}$ を $a + bi$ の形で表します。ここで、$a$ と $b$ は実数です。

$(a + bi)^2 = 1 - i$

$a^2 + 2abi - b^2 = 1 - i$

実部と虚部を比較すると、

$a^2 - b^2 = 1$

$2ab = -1$

$b = -\frac{1}{2a}$ を $a^2 - b^2 = 1$ に代入すると、

$a^2 - \frac{1}{4a^2} = 1$

$4a^4 - 1 = 4a^2$

$4a^4 - 4a^2 - 1 = 0$

$a^2 = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{8} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

$a^2$ は正の実数でなければならないため、$a^2 = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ となります。

よって、$a = \pm \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}$ となります。

$a = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}$ のとき、$b = -\frac{1}{2a} = -\frac{1}{2\sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}} = -\frac{1}{\sqrt{2(1 + \sqrt{2})}} = -\sqrt{\frac{1}{2(1 + \sqrt{2})}} = -\sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}} = -\sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}$

$a = -\sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}$ のとき、$b = \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}$

$\sqrt{1 - i} = \pm(\sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}})$

$z = -1 \pm (\sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}})$

したがって、$z = -1 + \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}$ または $z = -1 - \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}$.

3. 最終的な答え

$z = -1 + \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}, -1 - \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}$