$x > 1$ のとき、$x + \frac{2}{x-1}$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x > 1$ のとき、$x + \frac{2}{x-1}$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

相加相乗平均の関係を利用します。

まず、$x > 1$ より $x - 1 > 0$ であることに注意します。

$x + \frac{2}{x-1}$ を $x-1$ を含む形に変形します。

$x + \frac{2}{x-1} = (x-1) + \frac{2}{x-1} + 1$

ここで、$x-1 > 0$ なので、相加相乗平均の関係より、

$(x-1) + \frac{2}{x-1} \geq 2 \sqrt{(x-1) \cdot \frac{2}{x-1}} = 2\sqrt{2}$

したがって、

$x + \frac{2}{x-1} = (x-1) + \frac{2}{x-1} + 1 \geq 2\sqrt{2} + 1$

等号成立条件は $x-1 = \frac{2}{x-1}$ のとき。

$(x-1)^2 = 2$

$x-1 = \pm \sqrt{2}$

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

$x>1$ であるから、$x = 1 + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

最小値は $2\sqrt{2} + 1$

そのときの $x$ の値は $1 + \sqrt{2}$