複素数 $z$ についての二次方程式 $z^2 + 2z + i = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ についての二次方程式 $z^2 + 2z + i = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

この二次方程式を解くために、解の公式を使用します。

二次方程式 $az^2 + bz + c = 0$ の解は、

$$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

で与えられます。

この問題の場合、$a = 1$, $b = 2$, $c = i$ なので、

$$z = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(i)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4i}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{1-i}}{2} = -1 \pm \sqrt{1-i}$$

ここで、$\sqrt{1-i}$ を計算する必要があります。$\sqrt{1-i} = x+iy$ とおくと、

$(x+iy)^2 = 1-i$

$x^2 - y^2 + 2ixy = 1 - i$

実部と虚部を比較すると、

$x^2 - y^2 = 1$

$2xy = -1$

$y = -\frac{1}{2x}$ を $x^2 - y^2 = 1$ に代入すると、

$x^2 - \frac{1}{4x^2} = 1$

$4x^4 - 1 = 4x^2$

$4x^4 - 4x^2 - 1 = 0$

$x^2 = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{8} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

$x$ は実数なので、$x^2 > 0$ である必要があり、$x^2 = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ となります。

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}$

$y = -\frac{1}{2x}$ なので、$x = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}$ のとき $y = -\frac{1}{2\sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}} = -\sqrt{\frac{1}{2(1+\sqrt{2})}} = -\sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}$

$x = -\sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}$ のとき $y = \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}$

$\sqrt{1-i} = \pm \left( \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}} \right)$

したがって、$z = -1 \pm \left( \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}} \right)$

$z = -1 + \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}$, または $z = -1 - \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}$

3. 最終的な答え

$z = -1 + \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}$, $z = -1 - \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}$