初項が1である等差数列 $\{a_n\}$ と等比数列 $\{b_n\}$ が、$a_2 = b_2$, $a_3 \ne b_3$, $a_4 = b_4$ を満たすとき、数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

初項が1である等差数列 $\{a_n\}$ と等比数列 $\{b_n\}$ が、$a_2 = b_2$, $a_3 \ne b_3$, $a_4 = b_4$ を満たすとき、数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ の公差を $d$, 数列 $\{b_n\}$ の公比を $r$ とすると、それぞれの数列の一般項は以下のようになる。

$a_n = 1 + (n-1)d$

$b_n = r^{n-1}$

条件より、

$a_2 = b_2$ なので、

$1 + d = r$ ...(1)

$a_4 = b_4$ なので、

$1 + 3d = r^3$ ...(2)

(1)より $d = r - 1$ なので、(2)に代入すると、

$1 + 3(r-1) = r^3$

$1 + 3r - 3 = r^3$

$r^3 - 3r + 2 = 0$

$(r-1)(r^2 + r - 2) = 0$

$(r-1)(r-1)(r+2) = 0$

$(r-1)^2(r+2) = 0$

したがって、$r = 1$ または $r = -2$ である。

$r = 1$ のとき、$d = r - 1 = 0$ となり、$a_n = 1$, $b_n = 1$ となる。

このとき、$a_3 = 1 = b_3$ となり、$a_3 \ne b_3$ の条件を満たさないので、$r=1$ は不適。

$r = -2$ のとき、$d = r - 1 = -3$ となる。

このとき、$a_n = 1 + (n-1)(-3) = 1 - 3n + 3 = 4 - 3n$

$b_n = (-2)^{n-1}$

$a_3 = 4 - 3(3) = -5$

$b_3 = (-2)^{3-1} = (-2)^2 = 4$

$a_3 \ne b_3$ を満たす。

したがって、$a_n = 4 - 3n$、$b_n = (-2)^{n-1}$ である。

3. 最終的な答え

$a_n = 4 - 3n$

$b_n = (-2)^{n-1}$