4.(1) $z = \pm \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} - i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2})$ が方程式 $z^2 = 1-i$ の解であることを示してください。 4.(2) 方程式 $z^2 + 2z + i = 0$ を解いてください。 5.(1) $f(x)$ を実数係数の多項式 $f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$ ($a_0, \dots, a_{n-1}$ は実数) とします。複素数 $\alpha$ に対して $f(\alpha) = 0$ ならば $f(\overline{\alpha}) = 0$ であることを示してください。 5.(2) $f(x)$ はある実数 $r_1, \dots, r_k, s_1, \dots, s_\ell, t_1, \dots, t_\ell$ を用いて次の形に因数分解できることを示してください。 $f(x) = (x-r_1) \dots (x-r_k)(x^2 + s_1x + t_1) \dots (x^2 + s_\ell x + t_\ell)$ (ヒント：代数学の基本定理と (1) を使う)

1. 問題の内容

4.(1) $z = \pm \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} - i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2})$ が方程式 $z^2 = 1-i$ の解であることを示してください。

4.(2) 方程式 $z^2 + 2z + i = 0$ を解いてください。

5.(1) $f(x)$ を実数係数の多項式 $f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$ ($a_0, \dots, a_{n-1}$ は実数) とします。複素数 $\alpha$ に対して $f(\alpha) = 0$ ならば $f(\overline{\alpha}) = 0$ であることを示してください。

5.(2) $f(x)$ はある実数 $r_1, \dots, r_k, s_1, \dots, s_\ell, t_1, \dots, t_\ell$ を用いて次の形に因数分解できることを示してください。

$f(x) = (x-r_1) \dots (x-r_k)(x^2 + s_1x + t_1) \dots (x^2 + s_\ell x + t_\ell)$

(ヒント：代数学の基本定理と (1) を使う)

2. 解き方の手順

4.(1)

与えられた $z$ を2乗して $1-i$ になることを示します。

$z^2 = \left( \pm \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} - i \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \right) \right)^2$

$= 2 \left( \left( \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \right)^2 - 2i \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} + \left( -i \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \right)^2 \right)$

$= 2 \left( \frac{2+\sqrt{2}}{4} - 2i \frac{\sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}}{4} - \frac{2-\sqrt{2}}{4} \right)$

$= 2 \left( \frac{2+\sqrt{2} - 2+\sqrt{2}}{4} - i \frac{\sqrt{4-2}}{2} \right)$

$= 2 \left( \frac{2\sqrt{2}}{4} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$

$= \sqrt{2} - i\sqrt{2}$

$= 1 - i$.

$z = \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} - i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2})$としたとき，$z^2 = (\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} - i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}))^2 = 1-i$となり、与えられた$z$は$z^2 = 1-i$の解であることがわかる。

4.(2)

$z^2 + 2z + i = 0$ を解くために、解の公式を用います。

$z = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(i)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4i}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{1-i}}{2} = -1 \pm \sqrt{1-i}$

(1)より、$\sqrt{1-i} = \pm \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} - i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2})$であるから、

$z = -1 \pm \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} - i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2})$

$z = -1 + \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} - i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}), \quad -1 - \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} - i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2})$

5.(1)

$f(\alpha) = 0$とします。$f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$ ($a_0, \dots, a_{n-1}$ は実数)

$f(\overline{\alpha}) = (\overline{\alpha})^n + a_{n-1}(\overline{\alpha})^{n-1} + \dots + a_1\overline{\alpha} + a_0$

$= \overline{\alpha^n} + a_{n-1}\overline{\alpha^{n-1}} + \dots + a_1\overline{\alpha} + a_0$

$= \overline{\alpha^n + a_{n-1}\alpha^{n-1} + \dots + a_1\alpha + a_0}$ (係数は実数なので、$\overline{a_i}=a_i$)

$= \overline{f(\alpha)}$

$= \overline{0}$

$= 0$.

したがって、$f(\alpha) = 0$ ならば $f(\overline{\alpha}) = 0$

5.(2)

代数学の基本定理により、$f(x)$ は複素数の範囲で $n$ 個の解 (重解を含む) を持つ。$\alpha_1, \dots, \alpha_n$ を $f(x)$ の解とすると、

$f(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2) \dots (x-\alpha_n)$ と因数分解できる。

(1) の結果より、もし $\alpha$ が $f(x)=0$ の解ならば、$\overline{\alpha}$ も $f(x)=0$ の解である。したがって、

- $\alpha$ が実数ならば、$\overline{\alpha} = \alpha$ である。

- $\alpha$ が実数でないならば、$\overline{\alpha}$ も解である。

実数でない解 $\alpha$ と $\overline{\alpha}$ に対して $(x-\alpha)(x-\overline{\alpha})$ は実数係数を持つ。

$(x-\alpha)(x-\overline{\alpha}) = x^2 - (\alpha + \overline{\alpha})x + \alpha\overline{\alpha}$

ここで、$\alpha + \overline{\alpha}$ は実数であり、$\alpha\overline{\alpha}$ も実数である。

したがって、実数でない解の組は二次式 $x^2 + sx + t$ の形になり、係数は実数である。

まとめると、$f(x)$ は $(x-r)$ の形の一次式と $(x^2 + sx + t)$ の形の二次式の積で表される。ここで、$r, s, t$ は実数である。

$f(x) = (x-r_1) \dots (x-r_k) (x^2 + s_1x + t_1) \dots (x^2 + s_\ell x + t_\ell)$.

3. 最終的な答え

4.(1) $z = \pm \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} - i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2})$ は方程式 $z^2 = 1-i$ の解である。

4.(2) $z = -1 + \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} - i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}), \quad -1 - \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} - i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2})$

5.(1) $f(\alpha) = 0$ ならば $f(\overline{\alpha}) = 0$ が成り立つ。

5.(2) $f(x) = (x-r_1) \dots (x-r_k) (x^2 + s_1x + t_1) \dots (x^2 + s_\ell x + t_\ell)$.