2次方程式 $z^2 + 2z + i = 0$ を複素数の範囲で解く問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $z^2 + 2z + i = 0$ を複素数の範囲で解く問題です。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式 $z^2 + 2z + i = 0$ を解くために、解の公式を利用します。

解の公式は、一般に2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えるものです。

今回の場合は、$a = 1$, $b = 2$, $c = i$ ですので、解の公式に代入すると、

$z = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(i)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4i}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{1 - i}}{2} = -1 \pm \sqrt{1 - i}$

となります。

ここで、$\sqrt{1 - i}$ を求めます。

$1 - i = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とすると、$r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$、$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin\theta = \frac{-1}{\sqrt{2}}$ より、$\theta = -\frac{\pi}{4}$ となります。

したがって、$1 - i = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$ と表されます。

$\sqrt{1 - i} = \sqrt[4]{2}(\cos(-\frac{\pi}{8}) + i\sin(-\frac{\pi}{8}))$ となります。

$\cos(-\frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\frac{\pi}{4})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$\sin(-\frac{\pi}{8}) = -\sin(\frac{\pi}{8}) = -\sqrt{\frac{1 - \cos(\frac{\pi}{4})}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = -\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

$\sqrt{1 - i} = \sqrt[4]{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - i \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

$\sqrt{1 - i} = \frac{\sqrt{2\sqrt{2} + 2}}{2} - i \frac{\sqrt{2\sqrt{2} - 2}}{2} = \frac{\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}}{2} - i \frac{\sqrt{2 - 2\sqrt{2}}}{2}$

あるいは、$(\alpha + i\beta)^2 = 1 - i$とおくと、

$\alpha^2 - \beta^2 = 1$ かつ $2\alpha\beta = -1$。 $\beta = -\frac{1}{2\alpha}$を代入すると、$\alpha^2 - \frac{1}{4\alpha^2} = 1$。

$4\alpha^4 - 4\alpha^2 - 1 = 0$。 $\alpha^2 = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$。$\alpha^2 > 0$ より $\alpha^2 = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$。

$\alpha = \pm \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}}{2}$。$\beta = -\frac{1}{2\alpha}$ より $\beta = \mp \frac{1}{\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}}$ となる。$\beta = \mp\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}=\mp \frac{\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{2}$.

$\sqrt{1 - i} = \pm (\sqrt{\frac{\sqrt{2} + 1}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}) = \pm (\frac{\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}}{2} - i \frac{\sqrt{2\sqrt{2} - 2}}{2})$

$z = -1 \pm \sqrt{1 - i} = -1 \pm (\frac{\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}}{2} - i \frac{\sqrt{2\sqrt{2} - 2}}{2})$

$1-i=(a+bi)^2$

$a^2-b^2=1$

$2ab=-1$

$a^2+b^2=\sqrt{2}$

$2a^2=1+\sqrt{2}$

$a=\pm \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}$

$2b^2=\sqrt{2}-1$

$b=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$

$\sqrt{1-i}=\pm (\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}})$

$z=-1\pm(\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}})$

3. 最終的な答え

$z = -1 + \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}$, $z = -1 - \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}$

あるいは

$z = -1 + \frac{\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}}{2} - i \frac{\sqrt{2\sqrt{2} - 2}}{2}$, $z = -1 - \frac{\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}}{2} + i \frac{\sqrt{2\sqrt{2} - 2}}{2}$