与えられた式 $(x+y-z)(x-y+z)$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y-z)(x-y+z)$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x+y-z$ と $x-y+z$ を展開します。

$(x+y-z)(x-y+z) = x(x-y+z) + y(x-y+z) -z(x-y+z)$

次に、それぞれの項を展開します。

$x(x-y+z) = x^2 - xy + xz$

$y(x-y+z) = xy - y^2 + yz$

$-z(x-y+z) = -xz + yz - z^2$

これらの結果をすべて足し合わせます。

$(x^2 - xy + xz) + (xy - y^2 + yz) + (-xz + yz - z^2) = x^2 - xy + xz + xy - y^2 + yz - xz + yz - z^2$

同類項をまとめます。$-xy$ と $xy$、$xz$ と $-xz$ は互いに打ち消しあいます。

$x^2 - y^2 - z^2 + yz + yz = x^2 - y^2 - z^2 + 2yz$

3. 最終的な答え

$x^2 - y^2 - z^2 + 2yz = x^2 - (y^2 + z^2 - 2yz) = x^2 - (y-z)^2$

または

$x^2 - y^2 - z^2 + 2yz$